一、 不定积分

1. 原函数的存在性

连续函数一定存在原函数，但原函数的导函数不一定连续。

几个重要结论：

1. 存在第一类间断点的函数，一定不存在原函数。
2. 存在第二类间断点的函数，若为无穷间断点则函数一定不存在原函数；若为振荡间断点则函数不一定存在原函数。
3. 初等函数的原函数不一定是初等函数，例如：
   $\int \frac{\sin x}{x} dx, \quad \int \frac{\cos x}{x} dx, \quad \int \frac{dx}{\ln x}, \quad \int e^{-x^2} dx, \quad \int \sin x^2 dx, \quad \int \cos x^2 dx$ 等等。
   这些被积函数是初等函数，但原函数不是。

2. 常用的不定积分

$$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \sec^2 x dx = \tan x + C$$
$$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x dx = -\cot x + C$$
$$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \tan x \sec x dx = \sec x + C$$
$$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \cot x \csc x dx = -\csc x + C$$
$$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$$
$$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$$
$$\int \sec x dx = \int \frac{1}{\cos x} dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$
$$\int \csc x dx = \int \frac{1}{\sin x} dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$$
$$\int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx = \int \tan^2 x dx = \tan x - x + C$$
$$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} dx = \int \cot^2 x dx = -\cot x - x + C$$

3. 其他常用不定积分公式

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$$
$$\int -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arccos \frac{x}{a} + C$$
$$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$
$$\int -\frac{1}{a^2 + x^2} dx = -\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C$$
$$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C$$

4. 有理分式积分

若分母为多项式，应进行多项式分解。例如：
$$ \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \int \frac{1}{(x+a)(a-x)} dx = \frac{1}{2a} \int \left[ \frac{1}{x+a} + \frac{1}{a-x} \right] dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C $$

二、 定积分

1. 定积分与极限求和的关系

$$ \int_0^1 f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ f\left(\frac{i}{n}\right) \right] $$
$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \left[ f\left(\frac{i}{n}\right) \right] $$
$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \left[ f\left(\frac{2i+1}{2n}\right) \right] $$

2. 定积分的保号性

若在闭区间上有 $f(x) \geq 0$，则 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$。

推论 1：
若在闭区间上连续函数 $f(x) \geq 0$ 中的等号仅在有限个点处成立，因此就有：
$$ \int_a^b f(x) dx > 0 $$

推论 2：
若在闭区间上有 $f(x) \geq g(x)$，则 $\int_a^b f(x) dx \geq \int_a^b g(x) dx$。

推论 3：
若在闭区间上连续函数 $f(x) \geq g(x)$ 中的等号仅有有限个点成立，因此就有：
$$ \int_a^b f(x) dx > \int_a^b g(x) dx $$

推论 4：
若 $a < b$，则 $\left| \int_a^b f(x) dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$。

3. 定积分的重要性质

设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最大值与最小值，则就有：
$$ m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a) $$

三、 积分第一中值定理与变限积分

1. 积分第一中值定理

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使：
$$ \int_a^b f(x)g(x) dx = f(\xi) \int_a^b g(x) dx $$

推论 1：
若取 $g(x) = 1$，则变为当 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续时，至少存在一个 $\xi \in [a, b]$ 使：
$$ \int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a) $$

推论 2：
称 $f(\xi) = \frac{\int_a^b f(x) dx}{b-a}$ 为 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 的平均值。

推论 3：
实际应用当中，这含有开区间形式。即：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续，则 $\exists \xi \in (a, b)$，使：
$$ \int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a) $$

2. 变限积分函数

定义：
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $F(x) = \int_a^x f(t) dt, \quad x \in [a, b]$，称为 $f(x)$ 的变上限积分函数。

性质：

• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 在 $[a, b]$ 上连续。
• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且 $F'(x) = f(x)$。

设 $F(x) = \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) dt$，$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$ 可导，$f(x)$ 连续，则有：
$$ F'(x) = f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x) - f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x) $$

四、 存在间断点的变限积分函数与特殊函数性质

1. 存在间断点的变限积分函数

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, x_0) \cup (x_0, b]$ 上连续，在 $x = x_0$ 处间断。变限积分 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 有：

• 若点 $x = x_0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点，则 $F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$。
• 若点 $x = x_0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点，则 $F'(x_0)$ 不存在。

2. 三角函数积分性质

华里士公式（Wallis Formula）：
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} 1 \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \cdots \times \frac{n-1}{n} & n \text{ 为奇数} \\ \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{n-1}{n} & n \text{ 为偶数} \end{cases} $$

特殊关系式：
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^\alpha x}{\sin^\alpha x + \cos^\alpha x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^\alpha x}{\sin^\alpha x + \cos^\alpha x} dx = \frac{\pi}{4} $$
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan^\alpha x}{\tan^\alpha x + 1} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan^\alpha x + 1} dx = \frac{\pi}{4} $$
$$ \int_0^{\pi} x f(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx $$

3. 周期性函数

设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则：

1. 若 $a$ 为常数，则：
   $$ \int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx $$
2. 对任意常数 $a$，有：
   $$ \int_a^{a+nT} f(x) dx = n \int_0^T f(x) dx = n \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx $$

五、 反常积分（广义积分）

常用结论与公式

$$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \leq 1 \end{cases} \quad (a > 0)$$
$$\int_e^{+\infty} \frac{1}{x \ln^p x} dx \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \leq 1 \end{cases} \quad (a > 1)$$
$$\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx = \int_0^{+\infty} \frac{x^n}{e^x} dx = n!$$
$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
$$\int_a^b \frac{1}{(x-a)^p} dx = \begin{cases} \text{收敛}, & 0 < p < 1 \\ \text{发散}, & p \geq 1 \end{cases}$$

六、 定积分的应用

1. 平面图形的面积

极坐标系：
曲线 $r = r(\theta)$ 与射线 $\theta = \alpha, \theta = \beta \quad (\alpha < \beta)$ 所围平面图形的面积为：
$$ S = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) d\theta $$

曲线 $r_1 = r_1(\theta)$ 与 $r_2 = r_2(\theta), \quad r_1 \geq r_2$，且射线 $\theta = \alpha, \theta = \beta \quad (\alpha < \beta)$ 所围平面图形的面积为：
$$ S = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta [r_1^2(\theta) - r_2^2(\theta)] d\theta $$

参数方程：
曲线由参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}, \quad (y(t) > 0)$ 给出，则曲线与直线 $x = a, x = b$ 及 $x$ 轴所围图形的面积：
$$ S = \int_a^b y(x) dx = \int_\alpha^\beta y(t) dx(t) $$
其中，$a = x(\alpha), \quad b = x(\beta)$。

2. 旋转体体积

由曲线 $y = f(x)$ 与直线 $x = a, x = b \quad (a < b)$ 和 $x$ 轴围成平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的体积：
$$ V_x = \pi \int_a^b f^2(x) dx $$

绕 $y$ 轴旋转一周的体积：
$$ V_y = 2\pi \int_a^b |x f(x)| dx $$

由曲线 $x = g(y)$ 与直线 $y = a, y = b \quad (\alpha < b)$ 和 $y$ 轴围成平面图形绕 $y$ 轴旋转一周的体积：
$$ V_y = \pi \int_a^b g^2(y) dy $$

绕 $x$ 轴旋转一周的体积：
$$ V_x = 2\pi \int_a^b |y g(y)| dy $$

3. 平面曲线的弧长

直角坐标系：
曲线方程 $y = f(x)$，其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数，当 $x \in [a, b]$ 时，曲线弧长为：
$$ L = \int_a^b ds = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx $$

极坐标系：
光滑曲线 $r = r(\theta), \quad \theta \in [\alpha, \beta]$ 的弧长为：
$$ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta $$

参数方程：
参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}, \quad t \in [\alpha, \beta]$ 且 $x(t)$ 和 $y(t)$ 有连续导数，则弧长为：
$$ L = \int_\alpha^\beta ds = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt $$

4. 旋转体的表面积

设曲线 $y = f(x)$ 与直线 $x = a, x = b \quad (0 \leq a \leq b)$ 及 $x$ 轴所围区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的表面积为：
$$ S = \int_a^b 2\pi |y| ds = 2\pi \int_a^b |y| \sqrt{1 + (y')^2} dx $$

5. 曲线质量

$$ m = \int_a^b \rho(x) ds $$

6. 曲线重心

$$ \bar{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) ds}{\int_a^b \rho(x) ds} ; \quad \bar{y} = \frac{\int_a^b y \rho(x) ds}{\int_a^b \rho(x) ds} $$

7. 物理应用

• 变力沿直线做功：
  功：$W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ (此处手写较为简略，定积分形式通常为 $W = \int_a^b F(x) dx$)
• 引力：
  引力：$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
• 水压力：
  压强：$P = \rho g h$ ； 压力：$F = P S$ (此处为简写，实际计算需用积分 $F = \int \rho g h dA$)