一、一阶微分方程

变量可分离的方程

形如

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y), \quad g(y) \neq 0$$

的方程。移项后，等式两边积分求通解：

$$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$$

齐次型微分方程

形如

$$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$

令 $u = \dfrac{y}{x}$，有 $y = ux$，等式两边对 $x$ 求导可得

$$\frac{dy}{dx} = x\frac{du}{dx} + u$$

原方程化为

$$x\frac{du}{dx} + u = f(u) \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}$$

此为变量可分离的微分方程，对方程两边积分得：

$$\int \frac{du}{f(u) - u} = \int \frac{dx}{x}$$

求出通解后，用 $\dfrac{y}{x}$ 代替 $u$，得 $y$ 与 $x$ 的表达式。

二、一阶线性微分方程

形如

$$y' + P(x)y = Q(x)$$

通解公式为

$$y = e^{-\int P(x)\,dx} \cdot \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C \right]$$

其中 $\displaystyle\int P(x)\,dx$，$\displaystyle\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx$ 均取一个原函数即可。

三、可降阶的微分方程及其解法

情形一：$y'' = f(x)$

等式两边直接对 $x$ 积分。

情形二：$y'' = f(x, y')$（不含 $y$）

令 $y' = p$，有 $y'' = \dfrac{dp}{dx}$，上式变为

$$p' = f(x, p)$$

得到关于变量 $x, p$ 的一阶微分方程，求解该微分方程，再将 $p = y'$ 代入并进行积分，即可得到原方程的通解。

情形三：$y'' = f(y, y')$（不含 $x$）

令 $y' = p$，有

$$y'' = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$$

则原方程变为一阶微分方程

$$p\frac{dp}{dy} = f(y, p)$$

求出微分方程，再将 $p = y'$ 代入方程并进行积分，即可得到原方程的通解。

高阶线性微分方程解的结构

已知二阶齐次线性微分方程为：

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \tag{A}$$

已知非齐次二阶线性微分方程为：

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \tag{B}$$

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) \tag{C}$$

有关解的几个结论如下：

(1) 若 $y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$ 是 $n$ 次方程 (A) 的解，则

$$k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x) + \dots + k_n y_n(x)$$

依然是 $n$ 次方程 (A) 的解。

(2) 若 $y_1(x), y_2(x)$ 是齐次方程 (A) 的两个线性无关的解（即 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 的比不是常数），则

$$k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x)$$

也是齐次方程 (A) 的通解。

(3) 若 $y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$ 是非齐次方程 (B) 的解，则：

• $k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x) + \dots + k_n y_n(x)$ 是方程 (B) 的解（当 $k_1 + k_2 + \dots + k_n = 1$ 时）
• $k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x) + \dots + k_n y_n(x)$ 是方程 (A) 的解（当 $k_1 + k_2 + \dots + k_n = 0$ 时）

(4) 若 $y_B^*(x)$ 是非齐次方程 (B) 的一个特解，并且若 $y(x)$ 是对应齐次方程 (A) 的通解，则非齐次方程 (B) 的通解为：

$$Y = y_B^*(x) + y(x)$$

(5) 若 $y_B^*$, $y_C^*$ 分别是非齐次方程 (B) 和 (C) 的一个特解，则

$$y_B^* \pm y_C^*$$

是方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \pm g(x)$ 的一个特解。

常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程

形式

$$y'' + py' + qy = 0$$

其 $p, q$ 为常数，特征方程

$$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$$

由特征方程的特征根，可得相应的齐次线性微分方程解的情况：

其中，$C_1, C_2 \in \mathbb{R}$ 为常数。

$n$ 阶常系数齐次线性微分方程

方程的一般形式为：

$$y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + p_2 y^{(n-2)} + \dots + p_{n-1} y' + p_n y = 0$$

对应的特征方程为：

$$\lambda^n + p_1 \lambda^{(n-1)} + p_2 \lambda^{(n-2)} + \dots + p_{n-1} \lambda + p_n = 0$$

由特征方程的根，可确定上述方程解的形式：

$n$ 阶常系数非齐次线性微分方程

方程

$$y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + \dots + p_n y = f(x)$$

其中 $p_i$ 是常数，方程的通解为

$$y = \bar{y} + y^*$$

其中，$\bar{y}$ 是对应齐次方程的通解，由特征方程

$$\lambda^n + p_1 \lambda^{(n-1)} + \dots + p_n = 0$$

求出。

$y^*$ 是对应非齐次方程的一个特解。且确定方程特解时，有：

(1) 若 $f(x) = e^{\lambda x} \cdot P_n(x)$，其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$\lambda$ 为实数。

• ① 若 $\lambda$ 不是特征根，则令 $y^* = e^{\lambda x} \cdot R_n(x)$
• ② 若 $\lambda$ 是特征根（单根），则令 $y^* = x \cdot e^{\lambda x} \cdot R_n(x)$
• ③ 若 $\lambda$ 是特征根且重数为 $k$，则令 $y^* = x^k \cdot e^{\lambda x} \cdot R_n(x)$

其中 $R_n(x)$ 是待定系数 $n$ 次 $x$ 的多项式，即

$$R_n(x) = A_0 + A_1 x + \dots + A_n x^n$$

并且将 $y^*$ 代入原方程，确定所有的系数。

(2) 若 $f(x) = e^{\alpha x} \cdot [P_l(x) \cos \beta x + Q_m(x) \sin \beta x]$，其中 $P_l(x)$, $Q_m(x)$ 分别是 $x$ 的 $l$, $m$ 次多项式。

• ① 若 $\alpha \pm \beta i$ 不是特征根，则令

$$y^* = e^{\alpha x} \cdot [R_n(x) \cos \beta x + T_n(x) \sin \beta x]$$

• ② 若 $\alpha \pm \beta i$ 是特征根，则令

$$y^* = x \cdot e^{\alpha x} \cdot [R_n(x) \cos \beta x + T_n(x) \sin \beta x]$$

其中 $n = \max\{l, m\}$，且 $R_n(x)$ 和 $T_n(x)$ 是两个不同的待定系数 $n$ 次多项式：

$$R_n(x) = A_0 + A_1 x + \dots + A_n x^n$$

$$T_n(x) = B_0 + B_1 x + \dots + B_n x^n$$

然后把 $y^*$ 代入原方程确定系数。