导数与微分

导数的定义

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

左导数：
$$f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
右导数：
$$f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
$f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是左导数 = 右导数。

切线方程与法线方程

① 切线方程：
$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$
② 法线方程：
$$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$$

常用的导数公式

1. $(C)' = 0$
2. $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ （$\alpha$ 为实数）
3. $(\sin x)' = \cos x$
4. $(\cos x)' = -\sin x$
5. $(\tan x)' = \sec^2 x$
6. $(\cot x)' = -\csc^2 x$
7. $(\sec x)' = \sec x \tan x$
8. $(\csc x)' = -\csc x \cot x$
9. $(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)$
10. $(e^x)' = e^x$
11. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1)$
12. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
13. $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14. $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
15. $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
16. $(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$
17. $[\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})]' = \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$

幂指函数求导

$$[u(x)^{v(x)}]' = [e^{v(x)\ln u(x)}]' = e^{v(x)\ln u(x)} \cdot [v(x)\ln u(x)]'$$
$$= u(x)^{v(x)} \left[ v'(x)\ln u(x) + \frac{v(x)u'(x)}{u(x)} \right]$$

对数求导法

如 $y = (x-x_1)^{m_1} (x-x_2)^{m_2} \cdots (x-x_n)^{m_n}$
$$\ln|y| = m_1 \ln|x-x_1| + m_2 \ln|x-x_2| + \cdots + m_n \ln|x-x_n|$$
得：
$$\frac{y'}{y} = \frac{m_1}{x-x_1} + \frac{m_2}{x-x_2} + \cdots + \frac{m_n}{x-x_n}$$
故：
$$y' = \left[ \frac{m_1}{x-x_1} + \frac{m_2}{x-x_2} + \cdots + \frac{m_n}{x-x_n} \right] y$$

复合函数求导

设 $y = f(u), u = g(x)$，如果 $g(x)$ 在 $x$ 处可导，$f(u)$ 在 $u$ 处可导，则此时复合函数 $y = f[g(x)]$ 在 $x$ 处可导，且：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'[g(x)]g'(x)$$

反函数求导

设 $y = f(x)$ 与 $x = g(y)$ 互为可导的反函数，且 $g'(y) \neq 0$，则：
$$f'(x) = \frac{1}{g'(y)}, \quad f''(x) = -\frac{g''(y)}{[g'(y)]^3}$$

参数方程确定的函数求导

若 $y = y(x)$ 由 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ 确定，且 $\phi(t)$ 和 $\psi(t)$ 均二阶可导，$\phi'(t) \neq 0$，则：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left[ \frac{dy}{dx} \right] = \frac{\frac{d}{dt}\left[ \frac{dy}{dx} \right]}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\left[ \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)} \right]'}{\phi'(t)} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{[\phi'(t)]^3}$$

高阶导数

$$(x^m)^{(n)} = m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}$$
$$(a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n$$
因此：$(x^n)^{(n)} = n!$ ；当 $m < n$ 时，$(x^m)^{(n)} = 0$ ；$(e^x)^{(n)} = e^x$

$$[\sin(kx+b)]^{(n)} = k^n \sin\left(kx + \frac{n\pi}{2} + b\right)$$
$$[\cos(kx+b)]^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{n\pi}{2} + b\right)$$
$$\left[\frac{1}{ax+b}\right]^{(n)} = (-1)^n a^n \frac{n!}{(ax+b)^{n+1}}$$

莱布尼茨公式

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}$$

微分的运算公式

若 $y = f(x)$ 且 $f'(x)$ 存在，则：
$$\frac{dy}{dx} = f'(x) \iff dy = f'(x)dx$$

一元函数可导与可微的关系

$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\iff f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。

一元函数可导与连续的关系

① 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
② 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左、右导数存在（且无需相等），则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处也连续。
③ 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，也不能说明 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
④ 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处一定不可导。

微分中值定理和导数的运用

泰勒中值定理

(1) 带有佩亚诺余项的泰勒中值定理
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0)$，对任一 $x \in U(x_0)$，存在：
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$
其中 $R_n(x) = o[(x-x_0)^n]$，称为佩亚诺余项。

(2) 带拉格朗日余项的泰勒中值定理
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n+1$ 阶导数，且在邻域 $x \in U(x_0)$ 导数仍存在到 $n+1$ 阶，则对任一 $x \in U(x_0)$，有：
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$
其中 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ （$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间），称为拉格朗日余项。

渐近线

(1) 若存在水平渐近线 $y = C$，则：
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = C \quad \text{或} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = C$$
(2) 若存在铅直渐近线 $x = c$，则：
$$\lim_{x \to c^+} f(x) = \infty \quad \text{或} \quad \lim_{x \to c^-} f(x) = \infty$$
(3) 若存在斜渐近线 $y = kx + b$，则：
$$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = k \quad (k \neq 0), \quad \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - kx] = b$$

弧微分

若形状为 $y = f(x)$，则弧微分 $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$
若形状为 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$，则弧微分 $ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$
若形状为 $r = r(\theta)$，则弧微分 $ds = \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$

曲率

设 $f(x)$ 二阶可导，则曲线 $y = f(x)$ 上任一点 $(x, y)$ 的曲率为：
$$K = \frac{|y''|}{[1 + (y')^2]^{\frac{3}{2}}}$$

曲线 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$ 上任一点处的曲率为：
$$K = \frac{|x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)|}{[(x'(t))^2 + (y'(t))^2]^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径

$$R = \frac{1}{K}$$
且圆心在切线的法线上（向内凹）。