一、核心常数与材料参数速查表

1.1 基本物理常数

1.2 Si、Ge、GaAs 材料常数（300K）

高频考点：$k_0T = 0.026$ eV，$N_c \propto T^{3/2}$，$n_i^2 = n_0 p_0$

二、能带与有效质量（回旋共振）

2.1 等能面方程

导带底附近（以 $k_0$ 为极值点）三维泰勒展开：

$$E(\vec{k}) = E(k_0) + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{(k_x - k_{0x})^2}{m_x^*} + \frac{(k_y - k_{0y})^2}{m_y^*} + \frac{(k_z - k_{0z})^2}{m_z^*}\right]$$

旋转椭球面（纵向 $m_l$，横向 $m_t$）：

$$E(k) = E_c + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{k_1^2 + k_2^2}{m_t} + \frac{k_3^2}{m_l}\right]$$

2.2 回旋共振频率

球形等能面：

$$\omega_c = \frac{qB}{m_n^*} \quad \Rightarrow \quad m_n^* = \frac{qB}{\omega_c}$$

椭球形等能面（B方向余弦为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$）：

$$\omega_c = \frac{qB}{m_c^*}, \quad \frac{1}{(m_c^*)^2} = \frac{\alpha_1^2\alpha_2^2}{m_t^2 m_l} + \frac{\alpha_2^2\alpha_3^2}{m_t^2 m_l} + \frac{\alpha_1^2\alpha_3^2}{m_t^2 m_l} + \frac{1}{m_t m_l}(\text{组合项})$$

计算流程：给定 B 方向 → 代入椭球有效质量公式 → 求解 $\omega_c$ → 换算有效质量

2.3 硅锗材料的有效质量

三、杂质能级

3.1 类氢模型估算电离能

施主杂质电离能：

$$\Delta E_D = \frac{m_n^*}{m_0} \cdot \frac{1}{\varepsilon_r^2} \cdot E_0 \quad (E_0 = 13.6 \text{ eV})$$

受主杂质电离能：

$$\Delta E_A = \frac{m_p^*}{m_0} \cdot \frac{1}{\varepsilon_r^2} \cdot E_0$$

关键数据：Si $\varepsilon_r=12$，Ge $\varepsilon_r=16$；III/V族杂质电离能约 $0.01\sim0.16$ eV，远小于 $E_g$

3.2 杂质补偿规则

• $N_D > N_A$：有效施主浓度 $N_D - N_A$，$n = N_D - N_A$
• $N_A > N_D$：有效受主浓度 $N_A - N_D$，$p = N_A - N_D$
• 高度补偿：$N_D \approx N_A$，载流子极少

四、载流子统计分布（重点）

4.1 状态密度

导带底（等能面为球面，极值在 $k=0$）：

$$g_c(E) = \frac{(2m_n^*)^{3/2}}{2\pi^2 \hbar^3}(E - E_c)^{1/2}$$

价带顶：

$$g_v(E) = \frac{(2m_p^*)^{3/2}}{2\pi^2 \hbar^3}(E_v - E)^{1/2}$$

多椭球时：用态密度有效质量 $m_{dn} = s^{2/3}(m_l m_t^2)^{1/3}$（Si: $s=6$，Ge: $s=4$）

$N_c$、$N_v$ 的温度依赖：

$$N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_0 T}{h^2}\right)^{3/2} \propto T^{3/2}$$

$$N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_0 T}{h^2}\right)^{3/2} \propto T^{3/2}$$

高频考点：$N_c(T_2) = N_c(T_1)\cdot(T_2/T_1)^{3/2}$

4.2 费米分布函数

$$f(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\dfrac{E-E_F}{k_0T}\right)}$$

• $E = E_F$ 时，$f(E_F) = 1/2$
• 非简并条件（$E - E_F \gg k_0T$）退化为玻耳兹曼分布：

$$f_B(E) = \exp\left(-\frac{E-E_F}{k_0T}\right)$$

4.3 非简并半导体载流子浓度（核心公式）

$$\boxed{n_0 = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{k_0T}\right)}$$

$$\boxed{p_0 = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{k_0T}\right)}$$

乘积公式（与 $E_F$ 无关）：

$$n_0 p_0 = N_c N_v \exp\left(-\frac{E_g}{k_0T}\right) = n_i^2$$

4.4 本征半导体

$$n_i = p_i = \sqrt{N_c N_v}\exp\left(-\frac{E_g}{2k_0T}\right)$$

本征费米能级：

$$E_i = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3k_0T}{4}\ln\frac{m_p^*}{m_n^*}$$

室温下 Si/Ge $E_i$ 基本在禁带中线附近（偏差 $< 1.5k_0T$）

4.5 杂质半导体载流子浓度（四温区讨论）

计算主线：电中性条件 → 确定 $E_F$ → 代入 $n_0, p_0$ 公式

低温弱电离区（$n_0 = n_D^+$，$p_0 \approx 0$）

$$E_F = \frac{E_c + E_D}{2} + \frac{k_0T}{2}\ln\frac{N_D}{2N_c}$$

$$n_0 = \left(\frac{N_D N_c}{2}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{\Delta E_D}{2k_0T}\right)$$

其中 $\Delta E_D = E_c - E_D$ 为施主电离能

强电离（饱和）区（全部电离，忽略本征激发）

$$n_0 = N_D, \quad E_F = E_c + k_0T\ln\frac{N_D}{N_c}$$

$$p_0 = \frac{n_i^2}{N_D}$$

判断全电离条件（室温 Si 掺 P 为例）：$N_D \lesssim 3\times10^{17}$ cm⁻³

过渡区（本征激发不可忽略，联立方程组）

电中性条件：$n_0 = N_D + p_0$，结合 $n_0 p_0 = n_i^2$，得：

$$n_0 = \frac{N_D}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_D}{2}\right)^2 + n_i^2}$$

$$p_0 = \frac{n_i^2}{n_0}$$

当 $N_D \gg n_i$ 时：$n_0 \approx N_D + n_i^2/N_D$，$p_0 \approx n_i^2/N_D$
当 $N_D \ll n_i$ 时：$n_0 \approx p_0 \approx n_i$（本征激发主导）

p 型对称关系

$$p_0 = N_A, \quad E_F = E_v - k_0T\ln\frac{N_A}{N_v}$$（强电离）

$$p_0 = \frac{N_A}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_A}{2}\right)^2 + n_i^2}$$（过渡区）

4.6 费米能级位置计算

由已知 $n_0$ 或 $p_0$ 反推 $E_F$：

$$E_F = E_c - k_0T\ln\frac{N_c}{n_0} = E_i + k_0T\ln\frac{n_0}{n_i}$$

$$E_F = E_v + k_0T\ln\frac{N_v}{p_0} = E_i - k_0T\ln\frac{p_0}{n_i}$$

两施主/受主同时存在：用有效净掺杂量代替单一掺杂量

五、半导体导电性

5.1 基本电导率公式

$$\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$$

$$\rho = \frac{1}{\sigma}$$

由电阻率求本征载流子浓度：

$$n_i = \frac{1}{\rho_i q(\mu_n + \mu_p)}$$

5.2 迁移率与平均自由时间

$$\mu_n = \frac{q\tau_n}{m_n^*}, \quad \mu_p = \frac{q\tau_p}{m_p^*}$$

5.3 散射机制与迁移率温度关系

多散射并联（Matthiessen 定则）：

$$\frac{1}{\mu} = \sum_i \frac{1}{\mu_i} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\tau} = \sum_i \frac{1}{\tau_i}$$

综合公式：

$$\mu = \frac{q}{m^*} \cdot \frac{1}{AT^{3/2} + BN_i/T^{3/2}}$$

5.4 计算流程

1. 由题给 $\rho$ 或 $\sigma$ 确定 $n_i$（本征）或 $n_0, p_0$（掺杂）
2. 利用电中性条件联立 $n_0 p_0 = n_i^2$
3. 计算电导率 $\sigma = q(n_0\mu_n + p_0\mu_p)$
4. 由 $J = \sigma E$ 求电场（$E = J/\sigma$）

典型例题路径（补偿 Ge）：

$$n_i = \frac{1}{\rho_i q(\mu_n + \mu_p)} \xrightarrow{\text{电中性}} \begin{cases}p_0 + N_D^+ = n_0 + N_A^-\\n_0 p_0 = n_i^2\end{cases} \xrightarrow{\text{联立}} n_0, p_0 \xrightarrow{} \sigma \xrightarrow{E = J/\sigma}$$

六、非平衡载流子

6.1 附加电导率

光注入产生非平衡载流子 $\Delta n = \Delta p$：

$$\Delta\sigma = q\Delta p(\mu_n + \mu_p)$$

6.2 非平衡载流子寿命

小注入（$\Delta p \ll n_0 + p_0$），指数衰减：

$$\Delta p(t) = (\Delta p)_0 e^{-t/\tau}$$

直接复合净复合率：

$$U_d = r(np - n_i^2)$$

小注入下寿命（n 型为例）：

$$\tau \approx \frac{1}{rn_0}$$

间接复合（S-R-H 理论，单一复合中心 $N_t$）：

$$U = \frac{N_t r_n r_p (np - n_i^2)}{r_n(n+n_1) + r_p(p+p_1)}$$

其中：$n_1 = N_c\exp\!\left(\dfrac{E_t - E_c}{k_0T}\right)$，$p_1 = N_v\exp\!\left(\dfrac{E_v - E_t}{k_0T}\right)$，满足 $n_1 p_1 = n_i^2$

强 n 型小注入（$n_0 \gg p_0, n_1, p_1$）：

$$\tau_p \approx \frac{1}{N_t r_p}$$

强 p 型小注入：

$$\tau_n \approx \frac{1}{N_t r_n}$$

复合中心捕获截面：$r_n = \sigma_n v_T$，$r_p = \sigma_p v_T$，$v_T = \sqrt{3k_0T/m^*}$

有效复合中心条件：$r_n \approx r_p$，且能级在禁带中央附近（$E_t \approx E_i$）时复合率最大

6.3 准费米能级

非平衡状态下：

$$n = n_i\exp\frac{E_{Fn} - E_i}{k_0T}, \quad p = n_i\exp\frac{E_i - E_{Fp}}{k_0T}$$

$$np = n_i^2\exp\frac{E_{Fn} - E_{Fp}}{k_0T}$$

$|E_{Fn} - E_{Fp}|$ 越大，偏离平衡态越远；两者重合 → 恢复平衡

6.4 扩散方程与扩散长度

菲克定律（空穴）：

$$S_p = -D_p \frac{d\Delta p}{dx}$$

一维稳态扩散方程：

$$D_p \frac{d^2\Delta p}{dx^2} = \frac{\Delta p}{\tau}$$

通解：$\Delta p(x) = A e^{-x/L_p} + B e^{x/L_p}$

扩散长度：$L_p = \sqrt{D_p \tau}$（空穴平均扩散距离）

样品足够厚（$x=0$ 处注入，$x\to\infty$ 时 $\Delta p\to 0$）：

$$\Delta p(x) = (\Delta p)_0 e^{-x/L_p}$$

表面处扩散电流密度：$J_p\big|_{x=0} = qD_p(\Delta p)_0/L_p$

样品厚度 $W \ll L_p$（线性分布）：

$$\Delta p(x) \approx (\Delta p)_0\left(1 - \frac{x}{W}\right), \quad \frac{d\Delta p}{dx} = -\frac{(\Delta p)_0}{W}$$

6.5 爱因斯坦关系（重要）

$$\boxed{\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{k_0T}{q}}$$

室温下 $k_0T/q = 0.026$ V，故 $D = 0.026\mu$

总电流密度（漂移 + 扩散）：

$$J_p = qp\mu_p|E| - qD_p\frac{d\Delta p}{dx}$$

$$J_n = qn\mu_n|E| + qD_n\frac{d\Delta n}{dx}$$

6.6 稳态光照下过剩载流子

产生率 $g_p$，寿命 $\tau$，稳态时：

$$\frac{d\Delta p}{dt} = g_p - \frac{\Delta p}{\tau} = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta p = g_p\tau$$

七、pn 结

7.1 接触电势差（内建电场）

$$V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{n_{n0}}{n_{p0}} = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$

或：$qV_D = E_{Fn} - E_{Fp}$（两侧费米能级之差）

7.2 耗尽层宽度（突变结）

电中性条件：$N_A x_p = N_D x_n$

无外压时总宽度：

$$x_D = x_n + x_p = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0}{q}\cdot\frac{N_A + N_D}{N_A N_D}\cdot V_D}$$

外加偏压 $V$（正偏取正，反偏取负）：

$$x_D(V) = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0(V_D - V)}{q}\cdot\frac{N_A + N_D}{N_A N_D}}$$

单侧突变结 $p^+n$（$N_A \gg N_D$）：

$$x_n = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0(V_D - V)}{qN_D}}$$

计算流程：

$$N_D = \frac{1}{\rho_n q\mu_n}, \quad N_A = \frac{1}{\rho_p q\mu_p} \xrightarrow{} V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2} \xrightarrow{} x_D$$

7.3 理想 pn 结电流方程（肖克莱方程）

边界处少子注入浓度：

$$\Delta p_n(x_n) = p_{n0}\left[\exp\frac{qV}{k_0T} - 1\right]$$

$$\Delta n_p(-x_p) = n_{p0}\left[\exp\frac{qV}{k_0T} - 1\right]$$

总电流密度：

$$J = J_s\left[\exp\frac{qV}{k_0T} - 1\right]$$

反向饱和电流密度：

$$J_s = \frac{qD_p p_{n0}}{L_p} + \frac{qD_n n_{p0}}{L_n}$$

其中 $p_{n0} = n_i^2/N_D$，$n_{p0} = n_i^2/N_A$，$L_p = \sqrt{D_p\tau_p}$，$L_n = \sqrt{D_n\tau_n}$

正向大电流：$J \approx J_s\exp(qV/k_0T)$
反向饱和（$q|V| \gg k_0T$）：$J \approx -J_s$

实际 pn 结修正：加入复合/产生电流时 $J \propto \exp(qV/mk_0T)$，$m=1$（扩散电流主导）或 $m=2$（复合电流主导）

7.4 pn 结势垒电容

突变结：

$$C_T = \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0 A}{x_D} = A\sqrt{\frac{q\varepsilon_r\varepsilon_0}{2(V_D - V)}\cdot\frac{N_A N_D}{N_A + N_D}}$$

$$\frac{1}{C_T^2} = \frac{2(V_D - V)}{q\varepsilon_r\varepsilon_0}\cdot\frac{N_A + N_D}{N_A N_D}$$

线性缓变结（$\alpha_j$ 为杂质梯度）：

$$x_D = \left(\frac{12\varepsilon_r\varepsilon_0 V_D}{q\alpha_j}\right)^{1/3}$$（无外压），外加电压 $V$ 时将 $V_D$ 替换为 $V_D - V$

$C_T$-$V$ 特性图斜率 → 提取掺杂浓度；反向偏压越大，$C_T$ 越小

7.5 击穿电压

雪崩击穿（轻掺杂，低 $N_D$）：由碰撞电离引起，$V_{BR}$ 较高

隧道击穿（齐纳击穿）（重掺杂，高 $N$，$V_{BR}$ 约 $< 6$ V）：$qEx > E_g$ 时发生

热电击穿：$J_s \propto n_i^2 \propto T^3\exp(-E_g/k_0T)$，温度升高引起热失控

八、肖特基势垒与欧姆接触

8.1 肖特基势垒基本参数

8.2 空间电荷区宽度

$$W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi} + V_R)}{qN_d}}$$（外加反偏 $V_R$）

电容：

$$C = \frac{\varepsilon_s}{W}, \quad \frac{1}{C^2} = \frac{2(V_{bi} + V_R)}{q\varepsilon_s N_d}$$

8.3 热电子发射电流方程

$$J = A^* T^2\exp\!\left(-\frac{e\phi_{Bn}}{kT}\right)\left[\exp\!\left(\frac{eV_a}{kT}\right) - 1\right]$$

反向饱和电流密度：$J_{sT} = A^* T^2\exp(-e\phi_{Bn}/kT)$

有效理查德森常数：$A^* = 4\pi em_n^* k^2/h^3$（Si: 120 A/cm²K²，GaAs: 1.12 A/cm²K²）

8.4 肖特基 vs pn 结对比

九、典型计算题路径总结

路径 1：由电阻率求载流子浓度

$$\rho_i = \frac{1}{qn_i(\mu_n+\mu_p)} \Rightarrow n_i$$

路径 2：由掺杂浓度求费米能级位置

$$E_F = E_c + k_0T\ln\frac{N_D}{N_c} \text{（n型强电离）}$$
$$E_F - E_i = k_0T\ln\frac{n_0}{n_i} = k_0T\ln\frac{N_D}{n_i}$$

路径 3：过渡区载流子浓度（联立方程）

$$\begin{cases}n_0 = N_D + p_0\\n_0 p_0 = n_i^2\end{cases} \Rightarrow n_0 = \frac{N_D + \sqrt{N_D^2 + 4n_i^2}}{2}$$

路径 4：扩散长度 → 寿命

$$\tau_n = \frac{L_n^2}{D_n} = \frac{L_n^2}{\mu_n \cdot k_0T/q}$$（通过爱因斯坦关系）

路径 5：pn 结势垒高度与宽度

$$V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$，再按 p⁺n/n⁺p 近似求 $x_n$ 或 $x_p$

路径 6：非平衡光注入的准费米能级

先由平衡态求 $n_0, p_0, E_F$；注入后 $n = n_0 + \Delta n$，$p = p_0 + \Delta p$：

$$E_{Fn} = E_i + k_0T\ln\frac{n}{n_i}, \quad E_{Fp} = E_i - k_0T\ln\frac{p}{n_i}$$

十、关键公式汇编

$$n_0 p_0 = n_i^2 \quad \text{（适用所有非简并半导体，与} E_F \text{无关）}$$

$$n_i = \sqrt{N_c N_v}\exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_0T}\right)$$

$$\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p), \quad \rho = 1/\sigma$$

$$\frac{D}{\mu} = \frac{k_0T}{q} \approx 0.026 \text{ V（室温）}$$

$$L = \sqrt{D\tau}, \quad \Delta p(x) = (\Delta p)_0 e^{-x/L}$$

$$J = J_s\left[e^{qV/k_0T} - 1\right], \quad J_s = \frac{qD_p p_{n0}}{L_p} + \frac{qD_n n_{p0}}{L_n}$$

$$V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$

$$x_D = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0(V_D-V)}{q}\cdot\frac{N_A+N_D}{N_A N_D}}$$

$$\tau_p \approx \frac{1}{N_t r_p}, \quad \tau_n \approx \frac{1}{N_t r_n}$$（强型材料，间接复合）

$$N_c(T) = N_c(300\text{K})\cdot\left(\frac{T}{300}\right)^{3/2}$$