一、非平衡载流子的注入与复合

1. 平衡载流子与非平衡载流子

热平衡态下，温度 $T$ 一定，平衡载流子浓度 $n_0$、$p_0$ 确定，满足热平衡判据：
$$n_0 p_0 = n_i^2$$

对半导体施加外部作用（光照、电注入等）后，破坏热平衡，额外产生的载流子称为非平衡载流子（过剩载流子），用 $\Delta n$、$\Delta p$ 表示：

$$n = n_0 + \Delta n, \quad p = p_0 + \Delta p$$

注意：电中性条件要求 $\Delta n = \Delta p$（每产生一个电子必然同时产生一个空穴）。

2. 非平衡载流子的产生与复合

• 产生率 $G$：单位时间单位体积中产生的载流子数
• 复合率 $R$：单位时间单位体积中复合的载流子数
• 稳态时：$G = R$，$\Delta n$、$\Delta p$ 维持不变

光注入过程：光子能量 $h\nu > E_g$ → 价带电子跃迁至导带 → 产生电子空穴对 → $\Delta n$、$\Delta p$ 增加 → 复合率升高 → 最终达到新稳态。

3. 多子与少子中的非平衡载流子

关键结论：$\Delta p \gg p_0$（少子对非平衡载流子极为敏感），而多子几乎不受影响。因此，非平衡少子对半导体特性起主导作用。

4. 注入方式与检验

• 光注入：$h\nu > E_g$ 的光照
• 电注入：pn 结（少数载流子注入）
• 检验方法：光照后电导率增大（附加电导率 $\Delta\sigma = q(\mu_n \Delta n + \mu_p \Delta p)$），通过电流/电压变化检测

二、非平衡载流子的寿命

1. 寿命的定义

撤销外部注入后，非平衡载流子不会立即消失，而是通过净复合逐渐衰减回平衡态。其平均生存时间称为非平衡载流子寿命 $\tau$。

2. 寿命的计算（以 n 型半导体少子 $\Delta p$ 为例）

复合率正比于非平衡载流子浓度：
$$\frac{d(\Delta p)}{dt} = -\frac{\Delta p}{\tau}$$

小注入下 $\tau$ 为常数，代入初始条件 $\Delta p(0) = \Delta p_0$，解得：

$$\boxed{\Delta p(t) = \Delta p_0 \, e^{-t/\tau}}$$

物理意义：$t = \tau$ 时，非平衡载流子浓度衰减至原来的 $1/e$。$\tau$ 越小，复合越快。

可以严格证明 $\tau$ 就是所有少子的平均生存时间（对 $t \cdot \Delta p(t)/\Delta p_0$ 从 0 到 $\infty$ 积分得 $\tau$）。

3. 寿命的测量方法

1. 光电导衰减法（直流/高频/微波）：监测撤销光照后电压衰减曲线，读取 $t = \tau$ 处
2. 光磁电法：利用光磁电效应，适合短寿命材料（如 GaAs）
3. 扩散长度法
4. 双脉冲法

4. 典型寿命数据

同种材料不同条件下寿命差别极大，因此 $\tau$ 被称为"半导体结构灵敏参数"。

三、准费米能级

1. 概念引入

热平衡态系统具有统一费米能级 $E_F$。非平衡态时，导带和价带内部各自热弛豫极快（带内跃迁频繁），但带间跃迁稀少，带间来不及达到平衡。因此可以分别为导带和价带引入各自的"准费米能级"：

• 导带准费米能级：$E_{Fn}$（电子准费米能级）
• 价带准费米能级：$E_{Fp}$（空穴准费米能级）

2. 非平衡态载流子浓度表达式

$$n = n_i \exp\!\left(\frac{E_{Fn} - E_i}{kT}\right), \quad p = n_i \exp\!\left(\frac{E_i - E_{Fp}}{kT}\right)$$

• $n > n_0$：$E_{Fn}$ 比平衡态 $E_F$ 更靠近导带底 $E_c$
• $p > p_0$：$E_{Fp}$ 比平衡态 $E_F$ 更靠近价带顶 $E_v$

3. 重要结论

非平衡态下：

$$np = n_i^2 \exp\!\left(\frac{E_{Fn} - E_{Fp}}{kT}\right) > n_i^2$$

小注入时（以 p 型为例）：

• 多子浓度基本不变，$E_{Fp}$ 偏离 $E_F$ 很小
• 少子浓度大幅变化，$E_{Fn}$ 偏离 $E_F$ 显著

直觉图像：准费米能级的分裂程度反映了系统偏离平衡的程度，分裂越大，非平衡程度越强。

四、 复合理论

1. 复合方式分类

按微观机构：

• 直接复合：导带电子直接跃迁至价带与空穴复合（适合直接带隙半导体，如 GaAs）
• 间接复合：通过禁带中的复合中心（杂质/缺陷能级）分步复合（Si、Ge 以此为主）

按位置：

• 体内复合
• 表面复合

按能量释放方式：

• 辐射复合（发光复合）：发射光子
• 非辐射复合：发射声子（能量给晶格）
• 俄歇复合：能量传给第三个载流子

2. 直接复合

设净复合率 $U = R - G$：

$$R = r n p, \quad G_0 = r n_0 p_0 = r n_i^2$$

$$\boxed{U = r(np - n_i^2) = r(n_0 + p_0 + \Delta n)\Delta n}$$

其中 $r$ 为复合几率（与温度有关，与 $n$、$p$ 无关）。

直接复合寿命：

• 小注入（$\Delta n \ll n_0$，n 型）：$\tau \approx \dfrac{1}{r(n_0 + p_0)} \approx \dfrac{1}{rn_0}$，$\tau$ 为常数；$n_0$ 越大（电导率越大），$\tau$ 越短
• 大注入（$\Delta n \gg n_0, p_0$）：$\tau = \dfrac{1}{r \cdot \Delta n}$，随少子减少而增大

室温下，Si 直接复合寿命约 $10^2$–$10^3\ \text{s}$，远长于实测值，说明 Si/Ge 中实际复合以间接复合为主。

3. 间接复合（SRH 复合）

复合中心：禁带中的深能级杂质（位于 $E_i$ 附近最有效），起"台阶"作用，分两步完成复合。

四个微观过程（以复合中心能级 $E_t$、浓度 $N_t$ 为例）：

稳态时复合中心上电子得失平衡（甲 + 丁 = 乙 + 丙），净复合率：

$$U = \frac{np - n_i^2}{\tau_p(n + n_1) + \tau_n(p + p_1)}$$

其中 $n_1 = n_i e^{(E_t - E_i)/kT}$，$p_1 = n_i e^{(E_i - E_t)/kT}$，$\tau_{n,p} = 1/(r_{n,p} N_t)$。

有效复合中心的位置：$U$ 对 $E_t$ 取极值，当 $r_n = r_p = r$ 时，$E_t = E_i$（接近禁带中央）时 $U$ 最大，即深能级杂质是最有效的复合中心。

强 n 型小注入简化：
$$\tau \approx \tau_p = \frac{1}{r_p N_t}$$
少子寿命由空穴俘获截面和复合中心浓度决定。

俘获截面 $\sigma$：描述复合中心俘获载流子的能力，$\sigma \approx 10^{-13}$–$10^{-17}\ \text{cm}^2$；俘获几率 $r = \sigma v_T$（$v_T$ 为热运动速度，300 K 时约 $10^7\ \text{cm/s}$）。

4. 表面复合

表面缺陷多 → 复合中心密度大 → 表面复合显著，少子寿命缩短。

$$U_s = s \cdot \Delta p|_{\text{surface}}$$

$s$ 为表面复合速度（单位 cm/s），描述表面复合强弱。实际测量的寿命是体内复合和表面复合的综合结果。

5. 俄歇复合

载流子复合时，将能量传给第三个载流子（激发至更高能级），该载流子随后通过声子弛豫。俄歇复合是非辐射复合，在窄禁带半导体和高掺杂/高温下起重要作用，是影响半导体光电器件发光效率的重要因素。

6. 影响少子寿命的因素

1. 材料完整性：缺陷越多，复合中心越多，寿命越短
2. 深能级杂质：引入有效复合中心
3. 表面状态：表面复合不可忽视
4. 高能粒子辐射：造成晶格缺陷

五、载流子的扩散运动

1. 扩散的物理图像

载流子分布不均匀时，由高浓度处向低浓度处扩散，形成扩散电流。扩散是热运动统计结果，不需要电场驱动。

2. 菲克扩散定律

扩散流密度（单位时间通过单位面积的粒子数）正比于浓度梯度：

$$S_p = -D_p \frac{\partial p}{\partial x}, \quad S_n = -D_n \frac{\partial n}{\partial x}$$

$D_p$、$D_n$ 分别为空穴、电子扩散系数，单位 $\text{cm}^2/\text{s}$。

3. 一维稳态扩散方程

对 n 型半导体中的少子（空穴），在表面持续注入、内部无额外产生、稳态条件下，对厚度 $\Delta x$ 微元作载流子守恒：

$$D_p \frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} = \frac{\Delta p}{\tau_p}$$

引入扩散长度 $L_p = \sqrt{D_p \tau_p}$（单位 cm）：

$$\frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} = \frac{\Delta p}{L_p^2}$$

通解：$\Delta p(x) = A e^{x/L_p} + B e^{-x/L_p}$

情形 1：样品足够厚（$W \gg L_p$）

$$\Delta p(x) = (\Delta p)_0 \, e^{-x/L_p}$$

非平衡载流子按指数衰减，$L_p$ 为载流子深入样品的平均距离（扩散长度）。

情形 2：样品厚度 $W \ll L_p$（薄基区，如晶体管基区）

$$\Delta p(x) \approx (\Delta p)_0 \left(1 - \frac{x}{W}\right)$$

呈线性分布，扩散流密度为常数，载流子穿越基区几乎无复合——晶体管正常工作的物理基础。

4. 扩散电流密度

$$J_p^{\text{diff}} = -qD_p \frac{\partial p}{\partial x}, \quad J_n^{\text{diff}} = qD_n \frac{\partial n}{\partial x}$$

注意符号：电子带负电，流向与粒子流方向相反，两者符号一致。

六、漂移与扩散并存：爱因斯坦关系

1. 总电流密度方程

同时存在电场（漂移）和浓度梯度（扩散）时，总电流：

$$J_p = q\mu_p p E - qD_p \frac{\partial p}{\partial x}$$
$$J_n = q\mu_n n E + qD_n \frac{\partial n}{\partial x}$$

均匀掺杂时（无浓度梯度），仅有漂移电流；非均匀掺杂时两项均有。

2. 爱因斯坦关系的推导

考虑平衡态非均匀掺杂 n 型半导体（施主浓度沿 $x$ 递减）：

• 浓度梯度 → 扩散电流
• 扩散使载流子趋于均匀 → 建立内建电场 → 漂移电流

平衡态时体内总电流为零（$J_n = 0$，$J_p = 0$），利用平衡态载流子浓度与电势的关系 $n = n_i e^{(E_{Fn}-E_i)/kT}$，以及 $\dfrac{dn}{dx} = \dfrac{qn}{kT} E$，联立得：

$$\boxed{\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{kT}{q}}$$

这就是爱因斯坦关系，适用于非简并半导体。

物理意义：迁移率描述电场驱动下运动的难易程度，扩散系数描述浓度梯度驱动下运动的难易程度，两者之比等于热电压 $kT/q$（室温下约 25.9 mV），反映了两种运动的共同热运动本质。

3. 数值举例（室温 300 K，$kT/q = 0.026\ \text{V}$）

七、连续性方程

1. 建立思路

当扩散、漂移、复合、产生同时存在时，对微元体 $[x, x+\Delta x]$ 内载流子数作守恒（电流连续性）：

$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = -\frac{\partial S_p}{\partial x}\bigg|_{\text{扩散}} - \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{J_p^{\text{drift}}}{q}\right)\bigg|_{\text{漂移}} - \frac{\Delta p}{\tau_p}\bigg|_{\text{复合}} + g_p\bigg|_{\text{产生}}$$

2. 一维连续性方程（少子空穴）

$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2(\Delta p)}{\partial x^2} - \mu_p E \frac{\partial(\Delta p)}{\partial x} - \mu_p \Delta p \frac{\partial E}{\partial x} - \frac{\Delta p}{\tau_p} + g_p$$

对电子类似，符号有所不同。三维形式用 $\nabla$ 算符推广。

3. 简化情形

4. 典型应用举例

例1：均匀光照停止后的衰减（无扩散、无电场、无产生）

$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = -\frac{\Delta p}{\tau_p} \implies \Delta p(t) = \Delta p_0\, e^{-t/\tau_p}$$

例2：稳态表面注入，无电场（稳态扩散方程）

$$D_p \frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} = \frac{\Delta p}{\tau_p} \implies \Delta p(x) = (\Delta p)_0\, e^{-x/L_p}$$

例3：稳态表面注入，有均匀电场 $E$

$$D_p \frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} - \mu_p E \frac{d(\Delta p)}{dx} - \frac{\Delta p}{\tau_p} = 0$$

解为：$\Delta p(x) \propto \exp\!\left[\left(\dfrac{\mu_p E}{2D_p} - \sqrt{\left(\dfrac{\mu_p E}{2D_p}\right)^2 + \dfrac{1}{L_p^2}}\right)x\right]$，非平衡载流子分布同时受电场漂移和扩散复合影响。

• 电场强：漂移主导，分布集中于靠近表面处
• 电场弱：扩散主导，趋近于纯扩散的指数分布

例4：均匀光照产生（产生率 $g_p$），$t=0$ 开始，求达到稳态的过程

$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = -\frac{\Delta p}{\tau_p} + g_p \implies \Delta p(t) = g_p \tau_p\!\left(1 - e^{-t/\tau_p}\right)$$

稳态时 $\Delta p_{\infty} = g_p \tau_p$，非平衡载流子浓度达到饱和值。