一、有界性的几点结论

1. 有界的充要条件是既有上界又有下界。
2. 无穷小量必然是有界量，而有界量未必是无穷小量。
3. 无穷大量必然是无界量，而无界量未必是无穷大量。

二、奇偶性的几点结论

1. 偶函数图像关于 $y$ 轴对称，奇函数图像关于原点对称。

   注：此时函数为奇函数且在 $x=0$ 处无定义。因此，当且仅当函数在原点处有定义时，才有 $f(0) = 0$。

2. 若 $f(x)$ 是可导的奇函数，则 $f'(x)$ 是偶函数。
   若 $f(x)$ 是可导的偶函数，则 $f'(x)$ 是奇函数。
3. 若 $f(x)$ 是连续的奇函数，则所有的原函数都是偶函数。
   若 $f(x)$ 是连续的偶函数，则仅有一个原函数为奇函数。
4. 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
5. 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \, dx$。

三、周期性的几点结论

1. 若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的可导函数，则 $f'(x)$ 也是以 $T$ 为周期的函数。

2. 若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则 $f(x)$ 的原函数不一定是以 $T$ 为周期的函数。

   注：此时 $y = 1 + \sin x$ 以 $2\pi$ 为周期，但其原函数 $\int (1 + \sin x) \, dx = x - \cos x + C$ 没有周期。
   注意：从定义出发——以 $T$ 为周期的函数，满足 $f(x + T) = f(x)$。

四、三角函数的图像与在极坐标区域积分换元的应用

正切函数：$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

余切函数：$y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

五、反三角函数

注：在面对反三角函数时要注意取值范围。

六、极坐标区域积分变换

注：对于使用极坐标区域的积分交换次序，应画出 $r$ 和 $\theta$ 坐标，即：
$$ \iint_D f(x, y) \, dx dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \, dr = \int_0^1 r \, dr \int_0^{2\pi} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \, d\theta $$

七、函数极限几点结论

左极限：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$，记为 $f(x_0^-) = A$
右极限：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$，记为 $f(x_0^+) = A$

注：带 $\pm$ 的需区分左右极限的函数。

① 指数函数

$$ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty $$
$$ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0 $$

② 反正（余）切函数

$$ \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2} \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} \arctan\left[\frac{1}{x+a}\right] = \frac{\pi}{2} $$
$$ \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2} \quad ; \quad \lim_{x \to 0^-} \arctan\left[\frac{1}{x+a}\right] = -\frac{\pi}{2} $$
$$ \lim_{x \to +\infty} \text{arccot } x = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} \text{arccot}\left[\frac{1}{x+a}\right] = 0 $$
$$ \lim_{x \to -\infty} \text{arccot } x = \pi \quad ; \quad \lim_{x \to 0^-} \text{arccot}\left[\frac{1}{x+a}\right] = \pi $$

八、常见极限不存在的情形

③ 绝对值函数

$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ 不存在，因为：
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1 \quad (\text{此时 } \frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1) $$
$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1 \quad (\text{此时 } \frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1) $$

④ 根号下的平方

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ 不存在，因为：
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = 1 \quad (= \lim \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = 1) $$
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = -1 \quad (= \lim -\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = -1) $$

⑤ 取整函数

$\lim_{x \to 0} [x]$ 不存在，因为：
$$ \lim_{x \to 0^-} [x] = -1 $$
$$ \lim_{x \to 0^+} [x] = 0 $$

⑥ 分段函数

如 $f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x < a \\ f_2(x), & x > a \end{cases}$，要分别求：
$$ \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} f_2(x) $$
$$ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} f_1(x) $$

九、极限存在的两个重要结论

① 局部有界性

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，那么存在一个常数 $M > 0$，且当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，使 $|f(x)| \le M$。

② 局部保号性的两个推论

推论 1： 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = B$，且 $A > B$，则在 $x = x_0$ 的某去心邻域内，有 $f(x) > g(x)$。

推论 2： 已知极限 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 存在，若在 $x = x_0$ 的某去心邻域内，有：
当 $f(x) \ge 0$ 时，$A \ge 0$；
当 $f(x) \le 0$ 时，$A \le 0$。

注：极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 的存在性，与点 $(x_0, f(x_0))$ 函数值的存在性和取值无关，仅与连续性有关。

十、极限的四则运算

注：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = B$，且 $A, B$ 为常数

1. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x) = A \pm B$
2. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = A \cdot B$
3. $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{A}{B} \quad (g \neq 0)$

十一、极限分式的两个重要结论

1. 若 $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$，$g(x) \neq 0$ 且存在 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = A$（$A \neq 0$），则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$。
2. 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，且 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = A$（$A \neq 0$），则 $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$。

十二、两个重要极限

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\lim_{x \to 0} [1 + x]^{\frac{1}{x}} = e \quad ; \quad \lim_{x \to \infty} \left[1 + \frac{1}{x}\right]^x = e$
   $\lim_{n \to \infty} \left[1 + \frac{1}{n}\right]^n = e$

十三、常见函数的麦克劳林公式

当 $x \to 0$ 时，有：

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!} \cdot x^{n+1} $$

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{\sin(\theta x)}{(2n+3)!} \cdot x^{2n+3} $$

$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \frac{\cos(\theta x)}{(2n+2)!} \cdot x^{2n+2} $$

$$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^n \cdot \frac{x^n}{n} + \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \cdot \left[\frac{x}{1+\theta x}\right]^{n+1} $$

其中，$\theta \in (0, 1)$，该余项称为拉格朗日余项，记为 $R_n(x)$。

$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots $$

$$ \arcsin x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots $$

$$ \arccos x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \cdots $$

$$ \arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \cdots $$

$$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots $$

$$ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n $$

$$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n $$

泰勒展开使用技巧：

1. 如果遇到 $A/B$ 型：泰勒展开，上下同阶，多了可以，少了不行。
2. 如果遇到 $A - B$ 型：泰勒展开，保留可存在的最低阶项。

十四、泰勒展开例题

注：$A/B$ 型的上下展开必须展开到上下同阶，否则 $A$ 中为乘积无穷小形式。

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)\cdot\ln(1-x) - \ln(1-x^2)}{24\cos x - 24 + 12x^2} $$

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\left[x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right]\cdot\left[-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right] - \left[-x^2 - \frac{x^2}{2}\right]}{24 - 24 + 12x^2} $$

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\left[-x^2 - \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{3} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{6} - \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{6} - \frac{x^6}{9}\right] + \left[x^2 + \frac{x^4}{2}\right]}{x^4} $$

$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{12} \cdot x^4 - \frac{1}{9} \cdot x^6}{x^4} = \frac{1}{12} $$

因此要特别注意，完全展开。

十五、两个重要准则

(1) 夹逼准则

若数列 $\{x_n\}$，$\{y_n\}$，$\{z_n\}$ 满足条件：

1. $\exists N \in \mathbb{N}_+$，当 $n > N$ 时，有 $x_n \le y_n \le z_n$；
2. $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} z_n = a$；

则数列 $\{y_n\}$ 的极限存在，且 $\lim_{n \to \infty} y_n = a$。

若函数 $g(x)$，$f(x)$，$h(x)$ 满足条件：

1. $\exists \delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $g(x) \le f(x) \le h(x)$；
2. $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A$；

则函数 $f(x)$