问题：计算堆积比率

【问题】
如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明：
简单立方 (sc): x = π/6 ≈ 0.52
体心立方 (bcc): x = √3π/8 ≈ 0.68
面心立方 (fcc): x = √2π/6 ≈ 0.74
金刚石: x = √3π/16 ≈ 0.34

【知识点】
原子堆积比率 (APF, Atomic Packing Factor)，晶格常数 a 与原子半径 R 的关系，单胞内的原子数。

【思路】
原子堆积比率的计算公式为：APF = (单胞内所有原子的体积) / (单胞体积)。核心步骤是：

1. 确定一个单胞内包含的原子总数 N。
2. 找到原子紧密接触的方向，从而建立晶格常数 a 和原子半径 R 之间的几何关系。
3. 将 N 和 a(用R表示) 代入公式进行计算。

【解答】
简单立方 (sc)
单胞原子数 N = 8 × (1/8) = 1。
沿立方体棱边方向，原子紧密接触，因此 a = 2R。

$$ \text{APF} = \frac{N \times (\frac{4}{3}\pi R^3)}{a^3} = \frac{1 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{(2R)^3} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 $$

体心立方 (bcc)
单胞原子数 N = 8 × (1/8) + 1 = 2。
沿体对角线方向，原子紧密接触。体对角线长度为 √3a，等于 4R。

$$ \sqrt{3}a = 4R \implies a = \frac{4R}{\sqrt{3}} $$

$$ \text{APF} = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{(\frac{4R}{\sqrt{3}})^3} = \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \approx 0.68 $$

面心立方 (fcc)
单胞原子数 N = 8 × (1/8) + 6 × (1/2) = 4。
沿面对角线方向，原子紧密接触。面对角线长度为 √2a，等于 4R。

$$ \sqrt{2}a = 4R \implies a = \frac{4R}{\sqrt{2}} $$

$$ \text{APF} = \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{(\frac{4R}{\sqrt{2}})^3} = \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{6} \approx 0.74 $$

金刚石结构
单胞原子数 N = 8。
其结构可看作两个fcc晶格沿体对角线平移1/4的距离套构而成。原子紧密接触方向也在体对角线上，但此时体对角线 √3a 的长度等于 8R。

$$ \sqrt{3}a = 8R \implies a = \frac{8R}{\sqrt{3}} $$

$$ \text{APF} = \frac{8 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{(\frac{8R}{\sqrt{3}})^3} = \frac{\frac{32}{3}\pi R^3}{\frac{512R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{16} \approx 0.34 $$

问题：辨认晶体结构

【问题】
分别指出下图所示的六种结构是什么？

【知识点】
常见晶体结构（bcc, fcc, sc, NaCl, 金刚石, hcp）的视觉辨认。

【思路】
观察图中原子的位置和排列特征。

• 左上：立方体顶点 + 体心有原子，是体心立方。
• 中上：仅有顶点原子（或作为通用立方晶胞示意），是简单立方。
• 右上：两种不同原子，构成两个互穿的fcc子晶格，是氯化钠(NaCl)结构。
• 左下：标示了(000)和(1/2, 1/2, 1/2)两个位置，这是bcc结构的基元表示法。
• 中下：复杂的四面体键合结构，是金刚石结构。
• 右下：六方棱柱外形，内部有三个原子，是六方密堆积。

【解答】
从左到右，从上到下，六种结构分别为：

• 体心立方 (bcc)
• 简单立方 (sc)
• 氯化钠 (NaCl) 结构
• 体心立方 (bcc) 的基元示意
• 金刚石结构
• 六方密堆积 (hcp)

问题：证明BCC的倒格子是FCC

【问题】
证明体心立方 (bcc) 晶格的倒格子是面心立方 (fcc)。

【知识点】
正格子基矢的选取，倒格子基矢的定义与计算，fcc晶格基矢的特征。

【思路】

1. 写出bcc晶格的一组原胞基矢 $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3$。
2. 根据倒格子基矢的计算公式 $\vec{b}_i = 2\pi \frac{\vec{a}_j \times \vec{a}_k}{\vec{a}_i \cdot (\vec{a}_j \times \vec{a}_k)}$，计算出 $\vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3$。
3. 分析计算出的 $\vec{b}_i$ 的形式，证明它们正好是fcc晶格的一组原胞基矢。

【解答】
选取bcc晶格的原点为一个顶点，其原胞基矢可表示为：

$$ \vec{a}_1 = \frac{a}{2}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) $$

$$ \vec{a}_2 = \frac{a}{2}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) $$

$$ \vec{a}_3 = \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) $$

首先计算分母的体积项：

$$ \vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3) = \frac{a^3}{8} \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \frac{a^3}{8}(4) = \frac{a^3}{2} $$

接着计算分子中的叉乘项，例如 $\vec{a}_2 \times \vec{a}_3$：

$$ \vec{a}_2 \times \vec{a}_3 = \frac{a^2}{4}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = \frac{a^2}{4}(2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{a^2}{2}(\hat{j} + \hat{k}) $$

现在计算倒格子基矢 $\vec{b}_1$：

$$ \vec{b}_1 = 2\pi \frac{\frac{a^2}{2}(\hat{j} + \hat{k})}{a^3/2} = \frac{2\pi}{a}(\hat{j} + \hat{k}) $$

同理可得：

$$ \vec{b}_2 = \frac{2\pi}{a}(\hat{k} + \hat{i}) $$

$$ \vec{b}_3 = \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{j}) $$

这组基矢 $\vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3$ 正是晶格常数为 $4\pi/a$ 的fcc晶格的一组原胞基矢。因此，bcc晶格的倒格子是fcc晶格。

问题：近邻和次近邻原子

【问题】
1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a，写出最近邻和次近邻的原子间距。

【知识点】
配位数，晶体几何，距离计算。

【思路】
选定一个位于原点(0,0,0)的原子作为参考。

1. 列出其周围原子的坐标。
2. 计算原点原子到这些原子的距离。
3. 最短的距离即为最近邻间距，拥有此距离的原子个数即为最近邻原子数（第一配位数）。
4. 第二短的距离即为次近邻间距，拥有此距离的原子个数即为次近邻原子数。

【解答】
体心立方 (bcc)
参考原子位于(0,0,0)。

• 最近邻: 体心位置的原子，坐标形式为 $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$。

  • 间距: $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
  • 原子数: 8个。

• 次近邻: 位于立方体顶点，沿坐标轴方向的原子，坐标形式为 $(a, 0, 0)$。

  • 间距: $\sqrt{a^2 + 0 + 0} = a$
  • 原子数: 6个。

面心立方 (fcc)
参考原子位于(0,0,0)。

• 最近邻: 面心位置的原子，坐标形式为 $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$。

  • 间距: $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + 0} = \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{a}{\sqrt{2}}$
  • 原子数: 12个。

• 次近邻: 位于立方体顶点的原子，坐标形式为 $(a, 0, 0)$。

  • 间距: $\sqrt{a^2 + 0 + 0} = a$
  • 原子数: 6个。

问题：晶面交线

【问题】
指出立方晶格 (111) 面与 (100) 面，(111) 面与 (110) 面的交线的晶向。

【知识点】
晶面法线方向与密勒指数的关系，矢量叉乘。

【思路】

1. 一个晶面 (hkl) 的法线方向即为 [hkl] 方向。
2. 两个平面的交线，必然同时垂直于这两个平面的法线。
3. 在矢量代数中，两个矢量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 的叉乘结果 $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$，是一个同时垂直于 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 的新矢量。
4. 因此，交线的方向可以通过对两个晶面的法线方向矢量作叉乘来求得。

【解答】
交线1：(111) 面与 (100) 面
法线方向分别为 $\vec{n}_1 =$ 和 $\vec{n}_2 =$。
交线方向 $\vec{v}_1 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$。

$$ \vec{v}_1 = (1, 1, 1) \times (1, 0, 0) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-0) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0-1) = (0, 1, -1) $$

交线的晶向为 [0 1 -1] 或记作 [0 1 ī]。

交线2：(111) 面与 (110) 面
法线方向分别为 $\vec{n}_1 =$ 和 $\vec{n}_3 =$。
交线方向 $\vec{v}_2 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_3$。

$$ \vec{v}_2 = (1, 1, 1) \times (1, 1, 0) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(1-1) = (-1, 1, 0) $$

交线的晶向为 [-1 1 0] 或记作 [ī 1 0]。

问题：填空题

【问题】

1. 体心立方晶格的点阵常数为a，其原胞体积为 \_\_\_，其倒格子原胞（或第一布里渊区）的体积为 \_\_\_。
2. 金刚石结构中存在 \_\_\_ 种不等价原子，因此它是 \_\_\_ 晶格，由两个 \_\_\_ 结构的布拉伐格子沿体对角线位移1/4的长度套构而成，单胞（或晶胞）中有 \_\_\_ 个碳原子。
3. 对点阵常数为a的简单立方，与倒格矢 $\vec{K}_h = \frac{2\pi}{a}\hat{i} + \frac{4\pi}{a}\hat{j} - \frac{2\pi}{a}\hat{k}$ 正交的晶面族的晶面指数为 \_\_\_，其面间距为 \_\_\_。

【知识点】
原胞体积，倒格子体积关系，金刚石结构定义，倒格子矢量与晶面指数关系，面间距公式。

【思路】

1. BCC惯用单胞体积为 $a^3$，包含2个格点，因此原胞体积是其一半。倒格子原胞体积根据公式 $\Omega^* = (2\pi)^3/\Omega$ 计算。
2. 回顾金刚石结构的定义：是fcc格子加上一个双原子基元。由此可得各项答案。
3. 对于简单立方，倒格矢 $\vec{G}_{hkl} = \frac{2\pi}{a}(h\hat{i} + k\hat{j} + l\hat{k})$。通过对比题目给出的 $\vec{K}_h$ 可直接读出(hkl)。面间距 $d = 2\pi/|\vec{G}_{hkl}|$。

【解答】

1. 其原胞体积为 $a^3/2$，其倒格子原胞的体积为 $4\pi^3/a^3$。
2. 金刚石结构中存在 2 种不等价原子，因此它是 复式 晶格，由两个 面心立方(fcc) 结构的布拉伐格子沿体对角线位移1/4的长度套构而成，单胞中有 8 个碳原子。

3. 对比公式可知，$(h,k,l) = (1, 2, -1)$。晶面指数为 (1 2 -1) 或 (1 2 ī)。
   计算 $\vec{K}_h$ 的模：

   $$ |\vec{K}_h| = \sqrt{(\frac{2\pi}{a})^2 + (\frac{4\pi}{a})^2 + (-\frac{2\pi}{a})^2} = \frac{2\pi}{a}\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{a} $$

   面间距为：

   $$ d = \frac{2\pi}{|\vec{K}_h|} = \frac{2\pi}{2\pi\sqrt{6}/a} = \frac{a}{\sqrt{6}} $$

   其面间距为 $a/\sqrt{6}$。

问题：五重对称轴的缺失

【问题】
简述为什么晶体没有五重对称轴。

【知识点】
晶体学限制定理，平移对称性与旋转对称性的相容性。

【思路】
核心论点是：具有五重对称性的形状（如正五边形）无法做到无缝隙、无重叠地铺满整个平面或空间。而晶体的定义要求其必须具有周期性，即能够通过平移操作来填满整个空间。这两种要求是相互矛盾的。可以用一个简单的几何反证法来说明。

【解答】
晶体之所以没有五重对称轴，是因为五重旋转对称性与晶格必需的平移周期性无法兼容。

一个最基本的晶体学要求是，晶格必须能够通过基矢的周期性平移操作（即T = n1a1 + n2a2 + n3a3）来无缝隙、无重叠地填满整个空间，这称为空间格子的周期性。

如果我们假设晶体中存在一个五重对称轴，这意味着晶体绕该轴旋转 $2\pi/5 = 72^\circ$ 后必须保持不变。然而，具有五重对称性的基本单元（如正五边形）在进行周期性平移时，无法像三角形、正方形或正六边形那样紧密地拼接在一起，必然会产生空隙或者重叠。

这种几何上的不相容意味着，一个拥有五重对称性的结构无法同时满足平移周期性的要求。既然平移周期性是晶体的根本定义，那么任何与之冲突的对称操作，例如五重旋转，都是不被允许的。因此，自然界中的晶体只可能存在1、2、3、4、6重旋转对称轴。