问题一：晶体学基础参数计算

【问题】

已知α-Fe为体心立方（BCC）结构，晶格常数 a = 0.2866 nm。
(a) 计算其（211）晶面的晶面间距 d₂₁₁。
(b) 计算其（110）晶面与（001）晶面的共同晶带轴 [uvw] 的指数。

【知识点】

• 晶面间距计算（立方晶系）
• 晶带定律计算

【思路】

(a) 这是最基础的计算，直接应用手写笔记中强调的立方晶系晶面间距公式。
(b) 这考察的是晶带定律的应用，即两个晶面的交线方向。计算方法为两个晶面指数的矢量叉乘。

【解答】

(a) 计算（211）晶面间距

对于立方晶系，晶面间距公式为：

$$ d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}} $$

将 a = 0.2866 nm，(hkl) = (211) 代入：

$$ d_{211} = \frac{0.2866}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \frac{0.2866}{\sqrt{4+1+1}} = \frac{0.2866}{\sqrt{6}} $$

$$ d_{211} \approx 0.1170 \text{ nm} $$

(b) 计算晶带轴 [uvw]

晶带轴 [uvw] 是两个晶面法线矢量 $(h_1 k_1 l_1)$ 和 $(h_2 k_2 l_2)$ 的叉乘结果：

$$ u = k_1l_2 - l_1k_2 $$

$$ v = l_1h_2 - h_1l_2 $$

$$ w = h_1k_2 - k_1h_2 $$

代入 $(h_1 k_1 l_1) = (110)$ 和 $(h_2 k_2 l_2) = (001)$:

$$ u = (1)(1) - (0)(0) = 1 $$

$$ v = (0)(0) - (1)(1) = -1 $$

$$ w = (1)(0) - (1)(0) = 0 $$

因此，共同晶带轴为 [1 -1 0]。

问题二：布拉格定律与衍射角计算

【问题】

继续使用问题一中的α-Fe晶体，如果使用波长 λ = 0.1542 nm 的Cu Kα射线进行衍射分析，请问（211）晶面的衍射角（2θ）是多少度？

【知识点】

• 布拉格定律的应用

【思路】

这个问题紧跟上一题，考察布拉格定律的直接应用。我们已经计算出了 d₂₁₁，已知 λ，可以直接求解 θ，最后乘以2得到衍射角 2θ。

【解答】

布拉格方程为：

$$ 2d_{hkl}\sin\theta = n\lambda $$

通常我们考虑一级衍射（n=1），并使用干涉指数 HKL 代替 hkl，此时 n 已被包含在 d 中。简化后的公式为：

$$ 2d\sin\theta = \lambda $$

重新整理公式以求解 sinθ:

$$ \sin\theta = \frac{\lambda}{2d} $$

代入 λ = 0.1542 nm 和上题算出的 d₂₁₁ = 0.1170 nm：

$$ \sin\theta = \frac{0.1542}{2 \times 0.1170} \approx 0.6589 $$

通过反正弦函数计算布拉格角 θ：

$$ \theta = \arcsin(0.6589) \approx 41.22^\circ $$

衍射角是 2θ，所以：

$$ 2\theta = 2 \times 41.22^\circ = 82.44^\circ $$

因此，(211)晶面的衍射角约为 82.44°。

问题三：结构因子与系统消光规律推导

【问题】

面心立方（FCC）结构是重要的晶体结构。请推导其几何结构因子 F_HKL 的表达式，并由此得出其系统消光规律。并判断（210）和（220）衍射是否存在。

【知识点】

• 几何结构因子（F_HKL）的计算
• 系统消光规律的推导与应用

【思路】

这是手写笔记中反复强调的“系统消光”的核心考点。步骤如下：

1. 写出FCC晶胞中的所有原子坐标。
2. 将坐标代入通用的结构因子公式中。
3. 利用指数和三角函数关系，对公式进行化简。
4. 根据 H, K, L 指数的奇偶性组合，讨论 F_HKL 何时为零，从而得出消光规律。
5. 应用规律判断具体晶面。

【解答】

1. FCC原子坐标
一个FCC晶胞中有4个原子，坐标分别为：
(0, 0, 0), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2)

2. 代入结构因子公式
结构因子通用公式为：

$$ F_{HKL} = \sum_{j=1}^{n} f_j e^{2\pi i(Hu_j + Kv_j + Lw_j)} $$

对于只有一种原子的FCC晶胞（原子散射因子为 f），代入4个原子坐标：

$$ F_{HKL} = f \left[ e^{2\pi i(0)} + e^{2\pi i(\frac{H}{2}+\frac{K}{2})} + e^{2\pi i(\frac{H}{2}+\frac{L}{2})} + e^{2\pi i(\frac{K}{2}+\frac{L}{2})} \right] $$

利用 $e^{i\pi} = -1$，上式可简化为：

$$ F_{HKL} = f \left[ 1 + (-1)^{H+K} + (-1)^{H+L} + (-1)^{K+L} \right] $$

3. 讨论消光规律

• 当 H, K, L 奇偶混杂时（例如，一奇两偶或两奇一偶）：此时 H+K, H+L, K+L 中，必然是两奇一偶。例如，H奇，K偶，L偶。则 H+K 为奇，H+L 为奇，K+L 为偶。代入上式：

  $$ F_{HKL} = f [1 + (-1) + (-1) + (1)] = 0 $$

  衍射强度 $|F_{HKL}|^2 = 0$，衍射消光。

• 当 H, K, L 全为奇数或全为偶数时：此时 H+K, H+L, K+L 均为偶数。代入上式：

  $$ F_{HKL} = f [1 + (1) + (1) + (1)] = 4f $$

  衍射强度 $|F_{HKL}|^2 = 16f^2 \neq 0$，衍射存在。

结论：FCC结构的系统消光规律为：当晶面指数 H, K, L 不全为奇数或不全为偶数（即奇偶混杂）时，衍射将消失。

4. 判断衍射是否存在

• 对于 (210) 晶面：H=2(偶), K=1(奇), L=0(偶)。指数奇偶混杂，因此 (210) 衍射不存在。
• 对于 (220) 晶面：H=2(偶), K=2(偶), L=0(偶)。指数全为偶数，因此 (220) 衍射存在。

问题四：综合应用——相对积分强度计算

【问题】

请计算问题一中 α-Fe (BCC, a=0.2866 nm)，在使用 Cu Kα (λ=0.1542 nm) 射线照射时，其前三个允许出现的衍射峰 (110), (200), (211) 的相对积分强度。假设最强峰的强度为100。（不考虑吸收和温度因子）

【知识点】

• BCC消光规律
• 晶面间距计算
• 布拉格定律
• 多重性因子（P）
• 洛伦兹-偏振因子（L.P.）
• 相对积分强度综合计算

【思路】

这是本章知识的集大成者，也是手写笔记旁标注最多的题型。解题步骤非常清晰：

1. 确认衍射存在：根据BCC消光规律（H+K+L=偶数）检查(110), (200), (211)是否允许出现。
2. 计算每个晶面的d值。
3. 计算每个晶面对应的θ角。
4. 查找或记忆每个晶面族在立方晶系中的多重性因子P。
5. 计算每个θ角对应的洛伦兹-偏振因子 L.P.。
6. 计算 P × L.P. 的值（因为BCC允许衍射的 $|F_{HKL}|^2$ 都为 $4f^2$，在计算相对强度时可视为常数比例因子，因此强度正比于 P × L.P.）。
7. 将计算结果归一化。

【解答】

1. 检查消光

• (110): 1+1+0 = 2 (偶数)，允许。
• (200): 2+0+0 = 2 (偶数)，允许。
• (211): 2+1+1 = 4 (偶数)，允许。

2. 计算 d 和 θ (部分结果可引用前题)

3. 查找 P 和计算 L.P. 因子

• 多重性因子 P (立方晶系): {110} P=12; {100} P=6; {211} P=24。
• L.P. 因子: $ L.P. = (1+\cos^2{2\theta}) / (\sin^2\theta\cos\theta) $

4. 综合计算与归一化

最终答案：α-Fe 前三个衍射峰 (110), (200), (211) 的相对积分强度分别约为 100 : 22.1 : 55.0。

推导和理解常见晶体结构的结构因子及其消光规律是X射线衍射分析的核心技能。下面将逐一计算简单立方(SC)、体心立方(BCC)、面心立方(FCC)以及密排六方(HCP)的结构因子，并总结其规律。

结构因子通用计算公式

我们始终从结构因子的通用公式出发，假设晶胞中含有n个同种原子（原子散射因子为f），其坐标为 $(u_j, v_j, w_j)$：

$$ F_{HKL} = \sum_{j=1}^{n} f_j e^{2\pi i(Hu_j + Kv_j + Lw_j)} $$

衍射强度正比于结构因子振幅的平方 $|F_{HKL}|^2$。当 $|F_{HKL}|^2 = 0$ 时，该 (HKL) 晶面的衍射将消失，即产生系统消光。

简单立方 (Simple Cubic, SC)

原子坐标

简单立方晶胞中仅包含1个原子，位于晶胞顶点，其坐标为：
(0, 0, 0)

结构因子计算

将该坐标代入通用公式：

$$ F_{HKL} = f \cdot e^{2\pi i(H\cdot0 + K\cdot0 + L\cdot0)} = f \cdot e^0 $$

$$ F_{HKL} = f $$

其强度为：

$$ |F_{HKL}|^2 = f^2 $$

规律总结

由于 $f$ 是原子的固有属性，不为零，因此对于任何晶面指数 (HKL) 组合，$|F_{HKL}|^2$ 均不为零。
结论：简单立方点阵不存在系统消光，所有晶面指数 (HKL) 的衍射都是允许出现的。

体心立方 (Body-Centered Cubic, BCC)

原子坐标

体心立方晶胞中包含2个原子，分别位于顶点和体心，其坐标为：
(0, 0, 0) 和 (1/2, 1/2, 1/2)

结构因子计算

将2个原子坐标代入通用公式：

$$ F_{HKL} = f \left[ e^{2\pi i(0)} + e^{2\pi i(\frac{H}{2} + \frac{K}{2} + \frac{L}{2})} \right] $$

利用欧拉关系 $e^{i\pi} = -1$，上式可简化为：

$$ F_{HKL} = f \left[ 1 + e^{\pi i(H+K+L)} \right] = f \left[ 1 + (-1)^{H+K+L} \right] $$

其强度 $|F_{HKL}|^2$ 分两种情况：

• 当 H+K+L = 奇数时：

  $$ F_{HKL} = f [1 + (-1)] = 0 \quad \implies \quad |F_{HKL}|^2 = 0 $$

• 当 H+K+L = 偶数时：

  $$ F_{HKL} = f [1 + (1)] = 2f \quad \implies \quad |F_{HKL}|^2 = 4f^2 $$

规律总结

结论：体心立方点阵的衍射条件为晶面指数之和 (H+K+L) 必须为偶数。当 (H+K+L) 为奇数时，衍射将消光。

面心立方 (Face-Centered Cubic, FCC)

原子坐标

面心立方晶胞中包含4个原子，分别位于顶点和六个面心，其坐标为：
(0, 0, 0), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2)

结构因子计算

将4个原子坐标代入通用公式：

$$ F_{HKL} = f \left[ e^{2\pi i(0)} + e^{2\pi i(\frac{H}{2}+\frac{K}{2})} + e^{2\pi i(\frac{H}{2}+\frac{L}{2})} + e^{2\pi i(\frac{K}{2}+\frac{L}{2})} \right] $$

$$ F_{HKL} = f \left[ 1 + (-1)^{H+K} + (-1)^{H+L} + (-1)^{K+L} \right] $$

其强度 $|F_{HKL}|^2$ 分两种情况：

• 当 H, K, L 的奇偶性不一致（奇偶混杂）时：
  此时 H+K, H+L, K+L 中，必为两奇一偶，例如 H奇, K偶, L偶，则 $F_{HKL} = f[1 + (-1) + (-1) + 1] = 0$。

  $$ |F_{HKL}|^2 = 0 $$

• 当 H, K, L 全为奇数或全为偶数时：
  此时 H+K, H+L, K+L 均为偶数。

  $$ F_{HKL} = f[1 + 1 + 1 + 1] = 4f \quad \implies \quad |F_{HKL}|^2 = 16f^2 $$

规律总结

结论：面心立方点阵的衍射条件为晶面指数 (H, K, L) 必须全部为奇数或全部为偶数（奇偶性一致）。当 (H, K, L) 奇偶混杂时，衍射将消光。

密排六方 (Hexagonal Close-Packed, HCP)

原子坐标

密排六方结构的晶胞中包含2个原子，其坐标为：
(0, 0, 0) 和 (1/3, 2/3, 1/2)

结构因子计算

将2个原子坐标代入通用公式：

$$ F_{HKL} = f \left[ e^{2\pi i(0)} + e^{2\pi i(\frac{H}{3} + \frac{2K}{3} + \frac{L}{2})} \right] = f \left[ 1 + e^{2\pi i(\frac{H+2K}{3} + \frac{L}{2})} \right] $$

其强度 $|F_{HKL}|^2 = F_{HKL} \cdot F_{HKL}^*$：

$$ |F_{HKL}|^2 = f^2 \left[ 1 + e^{2\pi i(\frac{H+2K}{3} + \frac{L}{2})} \right] \left[ 1 + e^{-2\pi i(\frac{H+2K}{3} + \frac{L}{2})} \right] $$

利用 $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta$，展开并化简得：

$$ |F_{HKL}|^2 = f^2 \left[ 2 + 2\cos\left(2\pi\left(\frac{H+2K}{3} + \frac{L}{2}\right)\right) \right] $$

规律总结

对上式进行讨论 (设 n 为整数):

• 当 H+2K = 3n 且 L = 奇数时：

  $$ \cos\left(2\pi\left(n + \frac{\text{奇数}}{2}\right)\right) = \cos(\text{奇数}\cdot\pi) = -1 $$

  $$ |F_{HKL}|^2 = f^2 [2 + 2(-1)] = 0 $$

• 当 H+2K = 3n 且 L = 偶数时：

  $$ \cos\left(2\pi\left(n + \frac{\text{偶数}}{2}\right)\right) = \cos(\text{偶数}\cdot\pi) = 1 $$

  $$ |F_{HKL}|^2 = f^2 [2 + 2(1)] = 4f^2 $$

• 当 H+2K = 3n±1 且 L = 奇数时：

  $$ \cos\left(2\pi\left(n \pm \frac{1}{3} + \frac{\text{奇数}}{2}\right)\right) = \cos\left(\pm \frac{2\pi}{3} + \text{奇数}\cdot\pi\right) = \frac{1}{2} $$

  $$ |F_{HKL}|^2 = f^2 [2 + 2(\frac{1}{2})] = 3f^2 $$

• 当 H+2K = 3n±1 且 L = 偶数时：

  $$ \cos\left(2\pi\left(n \pm \frac{1}{3} + \frac{\text{偶数}}{2}\right)\right) = \cos\left(\pm \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $$

  $$ |F_{HKL}|^2 = f^2 [2 + 2(-\frac{1}{2})] = f^2 $$

结论：密排六方结构的系统消光规律为：当 (H+2K) 是3的倍数且 L 为奇数时，衍射将消光。 其他情况衍射均存在，但强度值有所不同。