费米能级相关

一、填空题

1. 在自由电子模型中，费米球半径 $k_F$ 与电子浓度 $n$ 的关系为 $k_F =$ ________；这一关系表明，金属中电子浓度越高，费米球半径越 ________。
2. 费米面是 $T=0\text{K}$ 时，$\boldsymbol{k}$ 空间中电子 __ 态与 __ 态的分界面。对于三维自由电子气体，费米面是一个 __ 面。
3. 两种功函数不同的金属接触时，电子会从费米能级 __ 的金属流向费米能级 __ 的金属，直到两者的 __ 相等，建立平衡。此时，失去电子的金属带 __ 电。
4. 在热力学温度 $T > 0\text{K}$ 时，费米-狄拉克分布函数中，能量等于费米能级 $E_F$ 的量子态被电子占据的概率为 ________。随着温度升高，费米能级（化学势）的值会略微 ________。
5. 德鲁德模型中，电阻率 $\rho$ 与微观参数弛豫时间 $\tau$ 的关系式为 $\rho =$ ________；若某金属的费米速度为 $v_F$，则电子的平均自由程 $l$ 可表示为 $l =$ ________。

二、计算题

题目 1：一维自由电子气的费米参数

考虑一个长度为 $L$ 的一维金属导线，其中包含 $N$ 个自由电子。忽略电子间的相互作用，电子被限制在 $[0, L]$ 的一维势箱中运动。

1. 写出一维情况下，波矢 $k$ 的量子化条件（假设采用周期性边界条件）。
2. 推导一维体系中费米波矢 $k_F$ 与线电子浓度 $n_{1D} = N/L$ 的关系。
3. 推导一维体系的费米能 $E_F$ 的表达式。
4. 若 $n_{1D} = 10^9 \text{m}^{-1}$，计算其费米能 $E_F$（单位：eV）。（已知 $\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{J}\cdot\text{s}, m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{kg}$）

题目 2：二维电子气的态密度与费米能

在石墨烯或半导体异质结中，电子常被限制在二维平面内运动，形成二维电子气（2DEG）。设电子被限制在面积为 $A = L \times L$ 的正方形区域内。

1. 推导二维自由电子气的费米波矢 $k_F$ 与面电子浓度 $n_{2D} = N/A$ 的关系。
2. 推导二维自由电子气在能量 $E$ 处的态密度 $D(E)$（即单位能量、单位面积内的量子态数目），并说明其与能量 $E$ 的依赖关系（是常数、正比于 $E$ 还是正比于 $\sqrt{E}$？）。
3. 若二维面电子浓度 $n_{2D} = 2 \times 10^{15} \text{m}^{-2}$，计算其费米温度 $T_F$。

题目 3：钠金属的导电特性

金属钠（Na）为体心立方（BCC）结构，晶格常数 $a = 4.23 \text{\AA}$。每个钠原子贡献 1 个自由电子。已知在室温（295 K）下，钠的电阻率 $\rho = 4.7 \times 10^{-8} \Omega \cdot \text{m}$。

1. 计算钠金属的电子浓度 $n$（单位：$\text{m}^{-3}$）。
2. 计算钠的费米能 $E_F$（单位：eV）和费米速度 $v_F$。
3. 根据电阻率数据，估算室温下电子的弛豫时间 $\tau$ 和平均自由程 $l$。
4. 若温度降低到 20 K，电阻率变为原来的 1/100，假设费米速度 $v_F$ 不随温度变化，求 20 K 时的平均自由程。

参考答案与解析

一、填空题答案

1. $(3\pi^2 n)^{1/3}$；大
2. 填充（或占据）；未填充（或空）；球
3. 高；低；费米能级（或 化学势）；正
4. 0.5（或 1/2）；降低（或 减小）
5. $\frac{m}{ne^2\tau}$；$v_F \tau$

二、计算题解答

题目 1 解答：

1. 量子化条件：$k = \frac{2\pi}{L} n_k$，其中 $n_k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$
2. 费米波矢：
   在 k 轴上，每个状态占据的长度为 $2\pi/L$。考虑自旋，每个状态容纳 2 个电子。
   电子填充范围从 $-k_F$ 到 $+k_F$，总长度为 $2k_F$。
   $N = 2 \times \frac{2k_F}{2\pi/L} = \frac{2L k_F}{\pi}$
   $\Rightarrow k_F = \frac{\pi N}{2L} = \frac{\pi n_{1D}}{2}$
3. 费米能：
   $E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\pi n_{1D}}{2} \right)^2 = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_{1D}^2}{8m}$
4. 数值计算：
   $n_{1D} = 10^9 \text{m}^{-1}$
   $E_F = \frac{(1.055 \times 10^{-34})^2 \times \pi^2 \times (10^9)^2}{8 \times 9.11 \times 10^{-31}} \approx 1.51 \times 10^{-23} \text{J}$
   换算为 eV：$E_F = \frac{1.51 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 9.4 \times 10^{-5} \text{eV}$

题目 2 解答：

1. 费米波矢：
   二维 k 空间中，每个状态占据面积 $(2\pi/L)^2 = 4\pi^2/A$。
   $N = 2 \times \frac{\pi k_F^2}{4\pi^2/A} = \frac{A k_F^2}{2\pi}$
   $\Rightarrow k_F^2 = 2\pi \frac{N}{A} = 2\pi n_{2D} \Rightarrow k_F = \sqrt{2\pi n_{2D}}$
2. 态密度：
   $N(E)$ 表示能量小于 $E$ 的总状态数（单位面积）：
   $N(E) = \frac{k^2}{2\pi} = \frac{2mE}{2\pi \hbar^2} = \frac{mE}{\pi \hbar^2}$
   态密度 $D(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \frac{m}{\pi \hbar^2}$
   结论：二维自由电子气的态密度是常数，与能量 $E$ 无关。
3. 费米温度：
   $k_F = \sqrt{2\pi \times 2 \times 10^{15}} \approx 1.12 \times 10^8 \text{m}^{-1}$
   $E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} = \frac{(1.055 \times 10^{-34})^2 \times (1.12 \times 10^8)^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31}} \approx 7.66 \times 10^{-21} \text{J}$
   $T_F = \frac{E_F}{k_B} = \frac{7.66 \times 10^{-21}}{1.38 \times 10^{-23}} \approx 555 \text{K}$

题目 3 解答：

1. 电子浓度：
   BCC 结构每个晶胞含 2 个原子，每个原子 1 个电子，故每个晶胞 2 个电子。
   $n = \frac{2}{a^3} = \frac{2}{(4.23 \times 10^{-10})^3} \approx 2.64 \times 10^{28} \text{m}^{-3}$
2. 费米能与费米速度：
   $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3} = (3\pi^2 \times 2.64 \times 10^{28})^{1/3} \approx 0.92 \times 10^{10} \text{m}^{-1}$
   $E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} \approx 5.1 \times 10^{-19} \text{J} \approx 3.2 \text{eV}$
   $v_F = \frac{\hbar k_F}{m} \approx 1.07 \times 10^6 \text{m/s}$
3. 弛豫时间与平均自由程（295 K）：
   $\tau = \frac{m}{ne^2\rho} = \frac{9.11 \times 10^{-31}}{2.64 \times 10^{28} \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times 4.7 \times 10^{-8}} \approx 2.9 \times 10^{-14} \text{s}$
   $l = v_F \tau = 1.07 \times 10^6 \times 2.9 \times 10^{-14} \approx 3.1 \times 10^{-8} \text{m} = 310 \text{\AA}$
4. 平均自由程（20 K）：
   电阻率变为 1/100，意味着 $\tau$ 增大 100 倍。
   $l_{20K} = 100 \times l_{295K} = 3.1 \times 10^{-6} \text{m} = 3.1 \mu\text{m}$