电子在电、磁场中的运动

这份计算题集分为了两个部分：

• 第一部分（基础巩固）：紧扣定义，数值计算为主，帮助你建立物理量级的概念。
• 第二部分（考前押题）：难度提升，侧重于“易错点”和“综合分析”，这些题目在期末考试中非常典型，旨在考察你对张量、拐点和正负质量的深度理解。

第一部分：基础概念与数值计算

这部分题目旨在让你熟悉公式的运用，重点在于单位换算和基本定义的直接代入。

题目 1：二维能带的群速度与有效质量

【题目】
设二维正方晶格的晶格常数为 $a$，其能带结构由下式给出：
$$ E(k_x, k_y) = E_0 - A (\cos k_x a + \cos k_y a) $$
其中 $A = 1.0 \text{ eV}$， $a = 0.3 \text{ nm}$。

1. 导出电子在 $x$ 方向的群速度 $v_x$ 的表达式。
2. 计算在带底（$k=0$）处的电子有效质量 $m^*$（以电子静止质量 $m_0$ 为单位， $m_0 \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$）。

【解题思路】

• 群速度是对 $E$ 求一阶导。
• 有效质量是对 $E$ 求二阶导。注意 $E$ 的单位是 eV，需要换算成焦耳 (J)。

【参考答案】
1. 群速度 $v_x$
$$ v_x = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial E}{\partial k_x} = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial}{\partial k_x} [E_0 - A (\cos k_x a + \cos k_y a)] $$
$$ v_x = \frac{Aa}{\hbar} \sin(k_x a) $$

2. 有效质量 $m^*$
带底位于 $k_x=0, k_y=0$。求二阶导数：
$$ \frac{\partial^2 E}{\partial k_x^2} = \frac{\partial}{\partial k_x} (Aa \sin k_x a) = A a^2 \cos k_x a $$
在 $k=0$ 处， $\cos(0)=1$，所以 $\frac{\partial^2 E}{\partial k_x^2} = A a^2$。
倒有效质量：
$$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_x^2} = \frac{A a^2}{\hbar^2} \Rightarrow m^* = \frac{\hbar^2}{A a^2} $$
数值代入：

• $\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
• $A = 1.0 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$
• $a = 3 \times 10^{-10} \text{ m}$

$$ m^* = \frac{(1.055 \times 10^{-34})^2}{1.6 \times 10^{-19} \times (3 \times 10^{-10})^2} $$
$$ m^* \approx \frac{1.11 \times 10^{-68}}{1.44 \times 10^{-38}} \approx 7.7 \times 10^{-31} \text{ kg} $$
换算为 $m_0$：
$$ \frac{m^*}{m_0} = \frac{7.7 \times 10^{-31}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.85 $$
即有效质量为 $0.85 m_0$。

题目 2：回旋共振频率

【题目】
已知某半导体的电子有效质量 $m^* = 0.25 m_0$。将其置于磁感应强度 $B = 0.5 \text{ T}$ 的恒定磁场中。

1. 计算电子的回旋共振频率 $\nu_c$ ($\omega_c = 2\pi \nu_c$)。
2. 为了观测到清晰的回旋共振峰，要求 $\omega_c \tau \ge 1$。求电子的最小弛豫时间 $\tau_{min}$。

【解题思路】
直接应用回旋频率公式 $\omega_c = eB/m^*$。

【参考答案】
1. 频率计算
$$ \omega_c = \frac{eB}{m^*} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.5}{0.25 \times 9.1 \times 10^{-31}} $$
$$ \omega_c \approx 3.52 \times 10^{11} \text{ rad/s} $$
频率 $\nu_c$：
$$ \nu_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx \frac{3.52 \times 10^{11}}{6.28} \approx 5.6 \times 10^{10} \text{ Hz} = 56 \text{ GHz} $$

2. 最小弛豫时间
$$ \tau_{min} = \frac{1}{\omega_c} = \frac{1}{3.52 \times 10^{11}} \approx 2.84 \times 10^{-12} \text{ s} = 2.84 \text{ ps} $$

第二部分：考试押题（易错点与综合分析）

这部分题目针对考试中容易出现的概念陷阱（如力与加速度不共线、质量无穷大）和正负符号问题。

题目 3：能带拐点与奇异性（重点）

【题目】
考虑一维紧束缚能带 $E(k) = E_0 - 2J \cos(ka)$。

1. 找出第一布里渊区中，电子群速度最大的 $k$ 值位置。
2. 找出电子有效质量趋于无穷大（$m^* \to \infty$）的 $k$ 值位置，并从物理上解释“质量无穷大”意味着什么？

【解题思路】
这是考试中考察对公式物理意义理解的经典题目。

• 速度最大 $\to$ 一阶导数极值 $\to$ 二阶导数为0。
• 质量无穷大 $\to$ 倒有效质量为0 $\to$ 二阶导数为0。
• 物理意义：外力无法改变电子的速度。

【参考答案】
1. 速度最大位置
$$ v(k) = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk} = \frac{2Ja}{\hbar}\sin(ka) $$
在第一布里渊区 $(-\pi/a, \pi/a)$ 内，$\sin(ka)$ 在 $k = \pm \frac{\pi}{2a}$ 处取最大值或最小值。故此处速率最大。

2. 质量无穷大位置
$$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2} = \frac{2Ja^2}{\hbar^2}\cos(ka) $$
当 $\cos(ka) = 0$ 时，$\frac{1}{m^*} = 0$，即 $m^* \to \infty$。
解得 $k = \pm \frac{\pi}{2a}$。

物理解释：
在 $k = \pm \frac{\pi}{2a}$ 处，能带处于拐点。此时电子的群速度已经达到最大值。根据 $F = m^* a$，当 $m^* \to \infty$ 时，即使施加外力 $F$，加速度 $a = F/m^* \to 0$。这意味着外力在这一瞬间无法改变电子的速度（速度已达极值，增无可增，减无可减），表现为惯性无穷大。

题目 4：各向异性与非共线加速度（高频考题）

【题目】
设某晶体导带底的等能面为椭球面，能量关系为：
$$ E(\vec{k}) = \frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_1} + \frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_2} $$
其中 $m_1 = 0.2 m_0$，$m_2 = 0.8 m_0$。
现在 $xy$ 平面内施加一个恒定外力 $\vec{F}$，方向与 $x$ 轴成 $45^\circ$ 角。
求：电子的加速度 $\vec{a}$ 的方向与 $x$ 轴的夹角 $\theta_a$。（即证明加速度方向不沿力的方向）

【解题思路】
这是一个非常经典的“陷阱题”。由于质量是张量，$\vec{F}$ 和 $\vec{a}$ 通常不共线。

• $\vec{F} = (F_x, F_y)$，$\vec{a} = (a_x, a_y)$。
• $a_x = F_x / m_1$，$a_y = F_y / m_2$。
• 通过 $\tan \theta$ 比较方向。

【参考答案】
外力 $\vec{F}$ 与 $x$ 轴成 $45^\circ$，设 $F$ 为力的大小：
$$ F_x = F \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}F $$
$$ F_y = F \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}F $$

根据运动方程 $a_\alpha = \frac{F_\alpha}{m_\alpha}$：
$$ a_x = \frac{F_x}{m_1} = \frac{\sqrt{2}F}{2 \cdot (0.2m_0)} = \frac{\sqrt{2}F}{0.4m_0} $$
$$ a_y = \frac{F_y}{m_2} = \frac{\sqrt{2}F}{2 \cdot (0.8m_0)} = \frac{\sqrt{2}F}{1.6m_0} $$

计算加速度方向角 $\theta_a$ 的正切值：
$$ \tan \theta_a = \frac{a_y}{a_x} = \frac{\frac{\sqrt{2}F}{1.6m_0}}{\frac{\sqrt{2}F}{0.4m_0}} = \frac{0.4}{1.6} = \frac{1}{4} = 0.25 $$

反解角度：
$$ \theta_a = \arctan(0.25) \approx 14^\circ $$

结论：
力的方向是 $45^\circ$，而加速度的方向是 $14^\circ$。
加速度总是偏向“质量较小”（容易被加速）的方向（这里是 $x$ 轴，因为 $m_1 < m_2$）。

题目 5：空穴的回旋运动（符号易错点）

【题目】
已知价带顶附近的电子能带结构为 $E(k) = E_v - B k^2$，其中 $B > 0$ 是常数。

1. 求价带顶电子的有效质量 $m^*_e$。
2. 若在此能带顶存在一个空穴，求空穴的有效质量 $m^*_h$。
3. 判断在垂直磁场下，该空穴的回旋运动方向与导带底电子（$E \propto k^2$）的回旋方向是相同还是相反？

【解题思路】
考察空穴定义的严格推导。

• 带顶曲率向下 $\to$ 电子质量为负。
• 空穴质量定义为电子质量的相反数 $\to$ 空穴质量为正。
• 旋转方向取决于 $q/m^*$ 的符号。

【参考答案】
1. 电子有效质量
$$ \frac{\partial^2 E}{\partial k^2} = \frac{\partial}{\partial k}(-2Bk) = -2B $$
$$ m^*_e = \hbar^2 / (-2B) = -\frac{\hbar^2}{2B} $$
（注意：这是负值）

2. 空穴有效质量
根据定义，空穴质量与该处电子质量互为相反数：
$$ m^*_h = -m^*_e = \frac{\hbar^2}{2B} $$
（注意：这是正值）

3. 回旋方向判断
回旋频率矢量形式为 $\vec{\omega}_c = \frac{q \vec{B}}{m^*}$。

• 导带底电子：电荷 $q = -e$，质量 $m^* > 0$。因子符号为 负。
• 价带顶空穴：电荷 $q = +e$，质量 $m^* > 0$。因子符号为 正。

由于电荷符号相反，且质量均为正（动力学质量），它们受到的洛伦兹力方向相反。
结论：空穴的回旋方向与电子的回旋方向相反。
(例如：在磁场指向上方时，若电子顺时针转，空穴则逆时针转)。