晶体中电子在电场和磁场中的运动
第一板块：准经典运动与有效质量 (PPT §5.1)
【题目】
- 在晶体中，描述电子状态的波包群速度 $\vec{v}(\vec{k})$ 与电子能量 $E(\vec{k})$ 的关系式为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。这表明电子的速度由能带在 k 空间中的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 决定。
- 外力 $\vec{F}$ 作用下，电子波矢随时间变化的方程（准动量定理）为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。其中 $\hbar \vec{k}$ 被称为电子的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
- 电子的有效质量 $m^*$ 是一个二阶张量，其倒数 $(1/m^*)_{\alpha\beta}$ 与能量对波矢的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 阶导数成正比。
- 在一维能带 $E(k)$ 中，当能带曲率 $\frac{d^2E}{dk^2} > 0$（开口向上）时，有效质量 $m^*$ 为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 值；当能带曲率 $\frac{d^2E}{dk^2} < 0$（开口向下）时，有效质量 $m^*$ 为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 值。
- 在能带的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 附近，电子具有负的有效质量；在能带的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 附近，电子具有正的有效质量。
【答案与解析】
答案：$\vec{v} = \frac{1}{\hbar}\nabla_{\vec{k}}E(\vec{k})$ ； 梯度（或斜率）
- 解析：(PPT P4, P11) 电子速度等于角频率的梯度，而 $E=\hbar\omega$，所以速度正比于能带的梯度。
答案：$\vec{F} = \hbar \frac{d\vec{k}}{dt}$ ； 准动量
- 解析：(PPT P13, P25) 外力改变的不是电子的真实动量，而是晶体动量（准动量）。
答案：二
- 解析：(PPT P16-17) 有效质量由 $\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2 E}{\partial k^2}$ 定义，反映了能带的弯曲程度（曲率）。
答案：正 ； 负
- 解析：(PPT P22) 数学上，二阶导数大于0对应极小值（带底），小于0对应极大值（带顶）。
答案：顶部 ； 底部
- 解析：(PPT P23) 结合第4题，能带顶开口向下，曲率为负，故质量为负。
第二板块：恒定电场下的运动 (PPT §5.2)
【题目】
- 在恒定电场作用下，电子在 k 空间做 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 运动。
- 若不考虑散射，电子在实空间中会发生往复振荡，这种现象称为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
- 在普通金属中很难观察到上述振荡现象，是因为电子的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 远小于振荡周期，电子在完成一次振荡前就被碰撞破坏了。
- 根据一维紧束缚近似，当电子运动到能带边界（如 $k = \pi/a$）时，电子会被晶格 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填“透射”或“反射”），从而改变运动方向。
【答案与解析】
答案：匀速
- 解析：(PPT P3) 根据 $\hbar \dot{k} = -eE$，力是恒定的，所以 $k$ 随时间线性变化。
答案：布洛赫振荡 (Bloch Oscillation)
- 解析：(PPT P5) 电子速度 $v \propto \sin(ka)$，随时间呈现周期性正负变化，导致位置振荡。
答案：平均自由运动时间 $\tau$（或散射时间）
- 解析：(PPT P9-10) 观察振荡的条件是 $\omega \tau \gg 1$，即两次碰撞之间的时间必须足够长。
答案：反射
- 解析：(PPT P8) 布里渊区边界对应布拉格反射条件，电子在 $k=\pi/a$ 处遇到带隙（位垒），发生反射回到 $k=-\pi/a$（周期性边界）。
第三板块：导体、绝缘体与空穴 (PPT §5.3)
【题目】
- 无论是否施加外场，一个被电子完全填满的能带（满带），其总电流强度为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
- 绝缘体不导电的原因是：其价带是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 的，导带是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 的，且禁带宽度较 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
- 为了描述近满带电子的导电行为，引入了“空穴”的概念。空穴带有 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 电荷（填正/负），具有 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 的有效质量（填正/负）。
- 半导体的导电机制是混合导电，即由导带中的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 和价带中的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 共同参与导电。
- 二价金属（如Mg）的原胞中有偶数个价电子，本来应该填满能带成为绝缘体，但实际上是导体，这是因为其能带发生了 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案与解析】
答案：零
- 解析：(PPT P4) 满带中，$v(k)$ 和 $v(-k)$ 成对出现且抵消，$\sum v = 0$。
答案：满（填满）； 空 ； 宽（大）
- 解析：(PPT P9) 绝缘体没有自由移动的载流子，且热激发困难。
答案：正 ； 正
- 解析：(PPT P14-15) 空穴是少了一个负电子的空位，表现为正电；虽然带顶电子质量为负，但为了维持 $F=ma$ 形式，空穴质量定义为 $m^*_h = -m^*_e > 0$。
答案：电子 ； 空穴
- 解析：(PPT P15) 本征激发产生电子-空穴对。
答案：交叠 (Overlap)
- 解析：(PPT P10) 导带底低于价带顶，消除了禁带，使电子可以自由跃迁。
第四板块：恒定磁场下的运动与回旋共振 (PPT §5.4 - §5.5)
【题目】
- 在恒定磁场 $\vec{B}$ 中，电子在 k 空间中的运动轨迹是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 面与垂直于磁场的平面的交线。
- 电子在磁场中做圆周运动的角频率（回旋频率） $\omega_c$ = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
- 在强磁场下，电子垂直于磁场方向的运动能量发生量子化，形成的分立能级称为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 能级。
- 回旋共振实验的主要用途是测定材料中载流子的 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
- 当交变电场的频率 $\omega$ 等于 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 时，电子发生共振吸收。
【答案与解析】
答案：等能 (Constant Energy)
- 解析：(PPT §5.4 P1) 洛伦兹力不做功，所以能量守恒；洛伦兹力垂直于 $B$，所以 $k_{\parallel}$ 守恒。
答案：$\frac{eB}{m^*}$ （或 $\frac{qB}{m^*}$）
- 解析：(PPT §5.4 P3) 由洛伦兹力提供向心力推导得出。
答案：朗道 (Landau)
- 解析：(PPT §5.4 P12-13) 磁场中类似于简谐振子的量子化解。
答案：有效质量 ($m^*$)
- 解析：(PPT §5.5 P2) 已知 $B$ 和测得的共振频率 $\omega_c$，可反推 $m^*$。
答案：回旋频率 $\omega_c$
- 解析：(PPT §5.5 P2) 共振条件。
综合思考题（附加）
【题目】
如果在能带底部的电子有效质量是 $0.5m_0$（$m_0$为电子静止质量），在能带顶部的电子有效质量是 $-0.5m_0$。
那么，位于能带底部的电子和位于能带顶部的“空穴”，它们在外电场下的加速度方向 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填“相同”或“相反”），它们的有效质量数值 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填“相等”或“不等”）。
【答案与解析】
答案：相反 ； 相等
解析：
- 加速度：电子带负电，受力 $-eE$，加速度 $a_e = -eE/m^*_e$ (分母为正)，逆电场加速；空穴带正电，受力 $+eE$，加速度 $a_h = +eE/m^*_h$ (分母为正)，顺电场加速。方向相反（指向各自受力方向）。
- 质量数值：能带顶电子质量 $m^*_e = -0.5m_0$。空穴质量定义为 $m^*_h = -m^*_e = -(-0.5m_0) = 0.5m_0$。所以空穴质量与带底电子质量数值相等（在本题假设的对称能带下）。
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