能带理论计算题集

核心知识点小节

1. 遇到简并微扰：先写出“由于满足布拉格反射条件，自由电子态k与k-G能量简并”，这是得分点。
2. 遇到能态密度：如果是一维，记得带边是无穷大（范霍夫奇点）；如果是三维，记得带边是0。
3. 遇到紧束缚：只要让你写 $E(k)$，就把 $\cos(k_x a) + ...$ 写出来，别忘了前面的负号和系数 $2J$。

第一部分：基础巩固篇

这部分题目旨在让你熟练掌握公式，确保拿到卷面上的基础分。

题目 1：布洛赫函数的判定与波矢确定

题目描述：
在一维晶格中，晶格常数为 $a$。判断下列波函数是否满足布洛赫定理？如果是，请求出其对应的晶体动量（波矢）$k$。（限制在第一布里渊区 $-\frac{\pi}{a} < k \le \frac{\pi}{a}$）

1. $\psi_1(x) = \cos(\frac{\pi x}{a})$
2. $\psi_2(x) = e^{i\frac{\pi x}{a}} \sin(\frac{2\pi x}{a})$

解题思路：
布洛赫定理的核心是 $\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x)$，其中 $u_k(x)$ 必须是以 $a$ 为周期的函数。利用欧拉公式将三角函数展开，看能否凑成这种形式。

参考答案：

1. 对于 $\psi_1(x)$：
   $$ \cos(\frac{\pi x}{a}) = \frac{1}{2} (e^{i\frac{\pi}{a}x} + e^{-i\frac{\pi}{a}x}) $$
   这不是单一的布洛赫态，而是两个布洛赫态的线性叠加。

   • 第一项：$k = \pi/a$
   • 第二项：$k = -\pi/a$
   • 结论：这是驻波态，对应于布里渊区边界上的简并态叠加。
2. 对于 $\psi_2(x)$：
   $$ \psi_2(x) = e^{i\frac{\pi x}{a}} \cdot \left[ \sin(\frac{2\pi x}{a}) \right] $$
   令 $u(x) = \sin(\frac{2\pi x}{a})$，检验其周期性：
   $$ u(x+a) = \sin(\frac{2\pi (x+a)}{a}) = \sin(\frac{2\pi x}{a} + 2\pi) = \sin(\frac{2\pi x}{a}) = u(x) $$
   因为 $u(x)$ 具有晶格周期性，所以 $\psi_2$ 是布洛赫函数。
   对应的波矢为指数上的系数：$k = \frac{\pi}{a}$。

题目 2：近自由电子近似与能隙计算

题目描述：
一维晶体电子受到微弱周期势场 $V(x)$ 的作用，势场形式为：
$$ V(x) = V_0 + 2V_1 \cos(\frac{2\pi x}{a}) + 2V_2 \cos(\frac{4\pi x}{a}) $$
其中 $V_1, V_2$ 均为很小的正实数。
求：

1. 第一布里渊区边界 ($k = \pm \frac{\pi}{a}$) 处的禁带宽度 $E_{g1}$。
2. 第二布里渊区边界 ($k = \pm \frac{2\pi}{a}$) 处的禁带宽度 $E_{g2}$。

解题思路：
根据PPT中的微扰结论，能隙宽度 $E_g = 2|V_n|$。关键在于识别出 $k$ 处发生布拉格反射时，对应的是势场傅里叶展开中的哪一项系数。
布拉格条件：$k' - k = G_n$。对于边界 $k = n\pi/a$，对应的散射倒格矢是 $G = 2k = 2n\pi/a$。

参考答案：
将势场展开为复指数形式（傅里叶级数）：
$$ V(x) = V_0 + V_1(e^{i\frac{2\pi}{a}x} + e^{-i\frac{2\pi}{a}x}) + V_2(e^{i\frac{4\pi}{a}x} + e^{-i\frac{4\pi}{a}x}) $$
由此可知傅里叶系数：$V(\frac{2\pi}{a}) = V_1$, $V(\frac{4\pi}{a}) = V_2$。

1. 第一能隙 ($k = \pi/a$)：
   需要的倒格矢 $G = \frac{\pi}{a} - (-\frac{\pi}{a}) = \frac{2\pi}{a}$。
   该 $G$ 对应的势场系数是 $V_1$。
   $$ E_{g1} = 2|V_1| = 2V_1 $$
2. 第二能隙 ($k = 2\pi/a$)：
   需要的倒格矢 $G = \frac{2\pi}{a} - (-\frac{2\pi}{a}) = \frac{4\pi}{a}$。
   该 $G$ 对应的势场系数是 $V_2$。
   $$ E_{g2} = 2|V_2| = 2V_2 $$

题目 3：紧束缚近似下的有效质量

题目描述：
某简单立方晶体（晶格常数 $a$）的s态能带由紧束缚近似给出：
$$ E(\vec{k}) = E_0 - 2J (\cos k_x a + \cos k_y a + \cos k_z a) $$
其中 $J>0$ 为交叠积分。
求在能带底部 ($\Gamma$点，$\vec{k}=0$) 电子的有效质量 $m^*$。

解题思路：
有效质量公式：$m^* = \hbar^2 \left( \frac{d^2E}{dk^2} \right)^{-1}$。
由于是立方对称，只需要算一个方向（比如 $k_x$）即可。在 $k \to 0$ 处对余弦进行泰勒展开。

参考答案：
在 $k \to 0$ 附近，利用 $\cos x \approx 1 - x^2/2$：
$$ E(k) \approx E_0 - 2J \left[ (1-\frac{k_x^2a^2}{2}) + (1-\frac{k_y^2a^2}{2}) + (1-\frac{k_z^2a^2}{2}) \right] $$
$$ E(k) \approx (E_0 - 6J) + J a^2 (k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) = E_{min} + J a^2 k^2 $$
计算二阶导数：
$$ \frac{d^2E}{dk^2} = 2Ja^2 $$
代入有效质量公式：
$$ m^* = \frac{\hbar^2}{2Ja^2} $$
物理意义：交叠积分 $J$ 越大（原子结合越紧），$m^*$ 越小，电子跑得越快。

第二部分：综合与推导

这部分题目需要你写出推导过程，是拿高分的关键。

押题 1：简并微扰论推导能隙（必考推导）

题目描述：
已知近自由电子近似的中心方程（微扰论结果）：
$$ (E^0_k - E)c_k + \sum_G V_G c_{k-G} = 0 $$
试推导：当波矢 $k$ 处于布里渊区边界（即满足 $k^2 = (k-G)^2$）时，能量本征值 $E$ 的表达式，并证明能隙宽度 $E_g = 2|V_G|$。

解题思路：
这是PPT第21-22页（简并微扰）的核心推导。关键在于只保留两个相互作用最强的态：$|k\rangle$ 和 $|k-G\rangle$，忽略其他项，构建二元方程组。

参考答案：

1. 选取主要项：
   在布里渊区边界，满足布拉格反射条件，态 $|k\rangle$ 和 $|k-G\rangle$ 的自由电子能量相等，即 $E^0_k = E^0_{k-G}$。这两个态发生强烈的混合（简并）。
   在中心方程中，我们假设波函数主要由这两项组成，忽略其他 $c_{k'}$ 项。
2. 建立方程组：
   对 $k$ 态： $(E^0_k - E)c_k + V_G c_{k-G} = 0$
   对 $k-G$ 态： $V_{-G} c_k + (E^0_{k-G} - E)c_{k-G} = 0$
   其中 $V_{-G} = V_G^*$（势场为实数）。
3. 求解久期方程：
   线性方程组有非零解的条件是系数行列式为零：
   $$ \begin{vmatrix} E^0_k - E & V_G \\ V_G^* & E^0_{k-G} - E \end{vmatrix} = 0 $$
   令 $E^0_k = E^0_{k-G} = \epsilon$，方程变为：
   $$ (\epsilon - E)^2 - |V_G|^2 = 0 $$
4. 解出能量：
   $$ \epsilon - E = \pm |V_G| \implies E_{\pm} = \epsilon \mp |V_G| $$
   即能级分裂为两支：$E_+ = E^0_k + |V_G|$ 和 $E_- = E^0_k - |V_G|$。
5. 得出能隙：
   $$ E_g = E_+ - E_- = 2|V_G| $$
   证毕。

押题 2：二维晶格的费米面与导电性（综合应用）

题目描述：
考虑一个二维正方晶格，晶格常数为 $a$。采用紧束缚近似，$s$ 态电子的能带为：
$$ E(k_x, k_y) = -2J (\cos k_x a + \cos k_y a) $$
（忽略常数项 $E_0$）。

1. 求能带宽度。
2. 若每个原子贡献 1 个价电子（半满带），求费米能级 $E_F$。
3. 画出此时第一布里渊区内的费米面形状，并判断该材料是金属还是绝缘体。

解题思路：
这是一个考察几何想象和物理图像的经典题目。半满带意味着费米能级在能带正中间。

参考答案：

1. 求带宽：
   $E_{max}$ 发生在 $(\pi/a, \pi/a)$，值为 $-2J(-1-1) = 4J$。
   $E_{min}$ 发生在 $(0, 0)$，值为 $-2J(1+1) = -4J$。
   带宽 $W = E_{max} - E_{min} = 8J$。
2. 求费米能级 $E_F$：
   由于能带是对称的（余弦函数），且每个原子贡献1个电子（考虑自旋，每个k态容纳2个电子），这对应于半满带。
   电子正好填满能带能量较低的一半。由于能带关于 $E=0$ 对称，所以：
   $$ E_F = 0 $$

3. 费米面形状与导电性：
   费米面定义为 $E(\vec{k}) = E_F = 0$ 的等能线。
   $$ -2J (\cos k_x a + \cos k_y a) = 0 $$
   $$ \cos k_x a = -\cos k_y a = \cos(\pi - k_y a) $$
   解得：$k_x a = \pm (\pi - |k_y a|)$，即 $k_y = \pm k_x \pm \frac{\pi}{a}$。
   形状：这是一个以布里渊区四个顶点为中心的菱形（或者说是连接布里渊区四条边中点的正方形）。
   导电性：因为费米面位于布里渊区内部（没有填满），能带未满，电子可以在电场下跃迁到附近的空态，所以是金属。

   (注：如果这题画图，画一个正方形布里渊区，费米面是一个旋转45度的内接正方形)。

押题 3：一维双原子链（复式格子与能隙）

题目描述：
考虑一个一维复式晶格，晶格常数为 $a$。原胞内有两个非全同原子，它们产生的势场傅里叶系数 $V_G$ 不为零。
已知在近自由电子近似下，能带会在 $k = \pm \frac{\pi}{a}$ 处断开。
问：如果这两个原子变得完全相同（即变为晶格常数为 $a/2$ 的单原子链），$k = \pm \frac{\pi}{a}$ 处的能隙会发生什么变化？请从物理图像和结构因子（势场系数）角度解释。

解题思路：
考察对倒格子与势场系数关系的理解。当晶格对称性提高（周期变短），原来的倒格矢可能变得“无效”（结构因子消光）。

参考答案：

1. 物理结论：能隙会消失。

2. 解释：

   • 周期性变化：当两个原子相同时，物理上的最小周期由 $a$ 变为 $a/2$。
   • 布里渊区扩张：实空间周期减半，倒空间周期加倍。第一布里渊区边界从 $\pm \frac{\pi}{a}$ 扩张到了 $\pm \frac{2\pi}{a}$。
   • 数学推导：原来的边界 $k=\pi/a$ 现在变成了布里渊区的内部点。对于单原子链（周期 $a/2$），在 $k=\pi/a$ 处没有布拉格反射。
   • 结构因子角度：势场系数 $V_G$ 包含结构因子 $S_G$。当原子相同时，对于 $G = 2\pi/a$ 对应的散射，两个原子产生的散射波相位差为 $\pi$，发生干涉相消，$V_{2\pi/a}$ 变为 0。根据 $E_g = 2|V_G|$，能隙关闭。