例题分析

这份习题集通过五个逻辑递进的物理模型，完成了从微观能带结构到宏观动力学响应的理论闭环。首先，基于一维紧束缚近似 $E(k) = E_0 - 2J \cos(ka)$，定量解析了群速度与有效质量在布里渊区内的演化规律，特别是揭示了能带拐点处 $m^* \to \infty$ 的动力学奇异性；接着，通过推导恒定电场下的布洛赫振荡轨迹 $x(t) \propto \cos(\omega_B t)$，深刻阐明了散射机制 $\omega_B \tau \ll 1$ 如何在宏观金属中抑制这一量子现象；进而将视野扩展至三维各向异性晶体，利用倒有效质量张量 $(\frac{1}{m^*})_{\alpha\beta}$ 展示了外力 $\boldsymbol{F}$ 与加速度 $\boldsymbol{a}$ 的非共线本质；在此基础上，严格证明了空穴作为正质量粒子 $m^*_h = -m^*_e > 0$ 的动力学等效性，并最终结合旋转椭球等能面模型，通过回旋共振频率 $\omega_c = \frac{eB}{m_t}$ 的计算，建立了从理论模型到实验测量有效质量的确切联系。

习题一：紧束缚近似下的电子速度与有效质量

【问题】
考虑一维晶体中的电子，在紧束缚近似下，其能带结构由公式 $E(k) = E_0 - 2J \cos(ka)$ 给出，其中 $a$ 为晶格常数，$J > 0$ 为交叠积分。

1. 求电子群速度 $v(k)$ 的表达式，并在第一布里渊区内画出草图。
2. 求电子有效质量 $m^*(k)$ 的表达式。
3. 分别计算在能带底 ($k=0$)、能带顶 ($k=\pm \pi/a$) 以及能带中点 ($k=\pm \pi/2a$) 处的有效质量，并解释其物理意义。

【知识点】

• PPT P11-12：一维紧束缚模型的 $E-k$ 关系、速度公式、有效质量公式。
• 教材笔记：有效质量与能带曲率的关系，正负质量的物理含义。

【思路】
此题直接对应PPT第11页的推导。

1. 利用群速度定义 $v = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}$ 进行一次求导。
2. 利用有效质量定义 $\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}$ 进行二次求导。
3. 将特定 $k$ 值代入，通过符号判断电子对外力的响应性质。

【解答】
1. 群速度
根据群速度公式：
$$v(k) = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk}$$
将 $E(k)$ 代入微分：
$$\frac{dE}{dk} = \frac{d}{dk}(E_0 - 2J \cos(ka)) = 2Ja \sin(ka)$$
故速度为：
$$v(k) = \frac{2Ja}{\hbar} \sin(ka)$$
草图特征：在 $k=0$ 和 $k=\pm \pi/a$ 处速度为零（驻波）；在 $k=\pm \pi/2a$ 处速度最大。

2. 有效质量
根据倒有效质量公式：
$$\frac{1}{m^*(k)} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2E}{dk^2}$$
对一阶导数再次求导：
$$\frac{d^2E}{dk^2} = \frac{d}{dk}(2Ja \sin(ka)) = 2Ja^2 \cos(ka)$$
代入得：
$$\frac{1}{m^*(k)} = \frac{2Ja^2}{\hbar^2} \cos(ka)$$
即有效质量为：
$$m^*(k) = \frac{\hbar^2}{2Ja^2 \cos(ka)}$$

这张图将能量 $E(k)$、速度 $v(k)$ 和有效质量 $m^*(k)$ 垂直排列，清晰展示了他们之间的导数关系。特别是能带拐点处质量发散的特征。

3. 特殊点计算与解释

• 能带底 ($k=0$)：
  $$\cos(0) = 1$$
  $$m^*(0) = \frac{\hbar^2}{2Ja^2} > 0$$
  物理意义：质量为正，且为最小值。电子受外力作用加速，表现如同自由电子。
• 能带顶 ($k=\pm \pi/a$)：
  $$\cos(\pm \pi) = -1$$
  $$m^*(\pm \pi/a) = -\frac{\hbar^2}{2Ja^2} < 0$$
  物理意义：质量为负。此时电子接近布拉格反射条件，晶格对电子的反射作用强于外力，导致电子对外力的响应反常（推着它向前，它却减速）。
• 能带中点 ($k=\pm \pi/2a$)：
  $$\cos(\pm \pi/2) = 0$$
  $$m^* \to \infty$$
  物理意义：这是能带曲率的拐点。此时外力无法改变电子的速度（速度已达最大值），电子表现出无限大的惯性。

习题二：恒定电场下的布洛赫振荡

【问题】
接上题，假设在晶体沿 $x$ 轴方向施加一个恒定电场 $\mathcal{E}$（为避免与能量混淆，电场记为 $\mathcal{E}$）。设 $t=0$ 时电子位于 $x=0$ 处，且处于能带底 $k=0$。

1. 写出 $k$ 空间中电子的运动方程，并求 $k(t)$。
2. 推导实空间中电子位置 $x(t)$ 的表达式。
3. 若晶格常数 $a=3 \text{\AA}$，频带宽度 $4J = 2 \text{eV}$，外加电场 $\mathcal{E} = 10^5 \text{V/cm}$。估算振荡周期，并结合“散射时间”讨论为何金属中通常观察不到此现象。

【知识点】

• PPT P28-30：准动量定理、布洛赫振荡、k空间与实空间的对应。
• PPT P34-35：振荡条件 $\omega \tau \gg 1$。

【思路】

1. 利用 $\hbar \dot{k} = F = -e\mathcal{E}$ 积分求出 $k(t)$。
2. 将 $k(t)$ 代入上一题求得的速度 $v(k)$，再对时间积分 $x(t) = \int v(t) dt$。
3. 计算周期 $T$，并与一般金属的弛豫时间 $\tau$ 做对比。

【解答】
1. k空间的运动
根据准经典运动方程：
$$\hbar \frac{dk}{dt} = -e\mathcal{E}$$
积分得（初始条件 $k(0)=0$）：
$$k(t) = -\frac{e\mathcal{E}}{\hbar} t$$

2. 实空间的运动
将 $k(t)$ 代入习题一中的速度公式：
$$v(t) = \frac{2Ja}{\hbar} \sin\left( a \cdot \left(-\frac{e\mathcal{E}}{\hbar} t\right) \right) = -\frac{2Ja}{\hbar} \sin\left( \frac{ea\mathcal{E}}{\hbar} t \right)$$
位置坐标 $x(t)$ 为速度的积分：
$$x(t) = \int_0^t v(t') dt' = -\frac{2Ja}{\hbar} \int_0^t \sin\left( \frac{ea\mathcal{E}}{\hbar} t' \right) dt'$$
积分结果为：
$$x(t) = \frac{2Ja}{\hbar} \cdot \frac{\hbar}{ea\mathcal{E}} \left[ \cos\left( \frac{ea\mathcal{E}}{\hbar} t \right) - 1 \right]$$
化简得：
$$x(t) = \frac{2J}{e\mathcal{E}} \left[ \cos\left( \omega_B t \right) - 1 \right]$$
其中布洛赫振荡圆频率 $\omega_B = \frac{ea\mathcal{E}}{\hbar}$。

3. 估算与讨论
振荡周期 $T = \frac{2\pi}{\omega_B} = \frac{2\pi \hbar}{ea\mathcal{E}} = \frac{h}{ea\mathcal{E}}$。
代入数值：
$$h \approx 4.14 \times 10^{-15} \text{eV}\cdot\text{s}$$
$$e\mathcal{E}a = 10^5 \text{V/cm} \times 3 \times 10^{-8} \text{cm} = 3 \times 10^{-3} \text{eV}$$
$$T = \frac{4.14 \times 10^{-15}}{3 \times 10^{-3}} \approx 1.38 \times 10^{-12} \text{s}$$
讨论：
通常金属中电子的散射时间（平均自由时间）$\tau \approx 10^{-14} \sim 10^{-13} \text{s}$。
这里算出的周期 $T \approx 10^{-12} \text{s}$。
由于 $T \gg \tau$（或者说 $\omega_B \tau \ll 1$），电子在完成一次完整的振荡周期之前，就已经发生了碰撞散射，动量被随机化。因此在普通金属和电场下无法观察到布洛赫振荡，必须在超晶格（$a$ 很大）或极强电场下才能观察到。

这张图展示了在恒定电场力作用下，电子的位置 $x(t)$ 如何发生周期性振荡。同时，下图是“散射”示意图，直观解释了为什么在普通金属中看不到这种振荡（因为在振荡完成前就碰散了）。

习题三：倒有效质量张量的计算

【问题】
设某种晶体导带底附近的电子能量与波矢的关系为：
$$E(\boldsymbol{k}) = \frac{\hbar^2}{2} \left( \frac{k_x^2}{m_1} + \frac{k_y^2}{m_2} + \frac{k_z^2}{m_3} \right)$$
其中 $m_1, m_2, m_3$ 为常数。

1. 计算倒有效质量张量 $\left(\frac{1}{m^*}\right)_{\alpha\beta}$。
2. 假设外力 $\boldsymbol{F}$ 沿 $x$ 轴方向，求电子加速度的方向。若 $m_1 \neq m_2$，加速度方向与力的方向是否一致？

【知识点】

• PPT P16-17：有效质量张量的定义、加速度分量公式。
• 教材笔记：能带各向异性导致力与加速度方向不共线。

【思路】

1. 利用张量定义 $\frac{1}{m^*_{\alpha\beta}} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_\alpha \partial k_\beta}$，计算偏导数。
2. 利用 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{\hat{m}}^{-1} \boldsymbol{F}$ 矩阵乘法计算加速度向量。

【解答】
1. 计算张量
根据定义，我们需要计算 $E$ 对 $k_x, k_y, k_z$ 的二阶混合偏导数。
$$\frac{\partial E}{\partial k_x} = \frac{\hbar^2 k_x}{m_1}, \quad \frac{\partial^2 E}{\partial k_x^2} = \frac{\hbar^2}{m_1}$$
同理可得 $\frac{\partial^2 E}{\partial k_y^2} = \frac{\hbar^2}{m_2}$, $\frac{\partial^2 E}{\partial k_z^2} = \frac{\hbar^2}{m_3}$。
由于交叉项不存在（如 $k_x k_y$），混合偏导数为零：
$$\frac{\partial^2 E}{\partial k_x \partial k_y} = 0$$
因此，倒有效质量张量为对角矩阵：
$$\left( \frac{1}{m^*} \right) = \begin{pmatrix} \frac{1}{m_1} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{m_3} \end{pmatrix}$$

2. 加速度方向
加速度向量 $\boldsymbol{a} = \left( \frac{1}{m^*} \right) \cdot \boldsymbol{F}$。
已知 $\boldsymbol{F} = (F, 0, 0)^T$。
进行矩阵运算：
$$\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{m_1} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{m_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{F}{m_1} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
结果表明，当坐标轴取在张量的主轴方向时，若力沿主轴方向，加速度也沿该方向。
引申情况：如果力 $\boldsymbol{F}$ 不沿主轴，例如 $\boldsymbol{F} = (\frac{F}{\sqrt{2}}, \frac{F}{\sqrt{2}}, 0)^T$，则：
$$\boldsymbol{a} = \left( \frac{F}{\sqrt{2}m_1}, \frac{F}{\sqrt{2}m_2}, 0 \right)$$
此时，如果 $m_1 \neq m_2$，则加速度 $\boldsymbol{a}$ 的方向与力 $\boldsymbol{F}$ 的方向不一致。这体现了晶体中电子运动的各向异性。

这张图是二维 $k$ 空间中的等能面（椭圆）。最关键的是展示了力 $\boldsymbol{F}$ 和加速度 $\boldsymbol{a}$ 的方向不一致性。加速度总是倾向于指向“质量较轻”（曲率较大）的方向。

习题四：空穴的动力学性质证明

【问题】
考虑一个几乎填满的能带，其中只有一个波矢为 $\boldsymbol{k}_e$ 的状态是空的，其余状态都被电子占据。

1. 证明该系统在电磁场下的总电流 $\boldsymbol{J}$，等效于一个带有正电荷 $+e$、速度为 $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}_e)$ 的粒子产生的电流。
2. 结合能带顶部的有效质量 $m^*_e < 0$，证明这个“空穴”具有正的有效质量 $m^*_h > 0$。

【知识点】

• PPT P48-51：近满带电流分析、空穴定义。
• 教材笔记：满带电流为0的推论、空穴质量的正负性转换。

【思路】

1. 利用 $\boldsymbol{J}_{total} = \boldsymbol{J}_{full} - \boldsymbol{J}_{missing}$ 以及 $\boldsymbol{J}_{full}=0$ 进行推导。
2. 利用加速度匹配 $a_h = a_e$，结合力和质量的关系推导。

【解答】
1. 电流等效性
设满带中所有状态的总电流为 $\boldsymbol{J}_{full}$。由于能带的中心对称性，$\boldsymbol{J}_{full} = \sum (-e)\boldsymbol{v} = 0$。
近满带的电流 $\boldsymbol{J}$ 等于满带电流减去缺失那个电子的贡献：
$$\boldsymbol{J} = \boldsymbol{J}_{full} - (-e)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}_e)$$
$$\boldsymbol{J} = 0 - (-e)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}_e) = +e \boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}_e)$$
这表明，电流 $\boldsymbol{J}$ 等同于一个电荷为 $+e$，速度为 $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}_e)$ 的粒子所产生的电流。我们称这个假想粒子为空穴。

左边圆圈：满带，所有速度矢量首尾相连归零。
右边圆圈：拿走一个 $\boldsymbol{v}_e$，剩下的矢量和（净电流）恰好与 $\boldsymbol{v}_e$ 反向。

2. 有效质量的正负性
电子（缺失的那一个）在电磁场下的运动方程为：
$$m^*_e \boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}_e = -e (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$
移项得加速度：
$$\boldsymbol{a} = \frac{-e}{m^*_e} (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$
对于空穴，我们要用它来描述同一个状态的运动（即同一个加速度 $\boldsymbol{a}$），但它带电荷 $+q = +e$。假设空穴质量为 $m^*_h$，其运动方程应写为：
$$m^*_h \boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}_h = +e (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$
即：
$$\boldsymbol{a} = \frac{+e}{m^*_h} (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$
比较两个加速度表达式：
$$\frac{-e}{m^*_e} = \frac{+e}{m^*_h}$$
$$\implies m^*_h = -m^*_e$$
由于空穴通常出现在能带顶部，那里电子的有效质量 $m^*_e$ 是负值。
因此，空穴的有效质量 $m^*_h = - (\text{负值}) = \text{正值}$。
结论：空穴表现为一个带正电、具有正有效质量的粒子。

习题五：回旋共振与有效质量测定

【问题】
在回旋共振实验中，将半导体样品置于磁感应强度 $B = 0.2 \text{T}$ 的恒定磁场中。

1. 若测得回旋共振的吸收频率为 $\nu = 24 \text{GHz}$ ($\omega = 2\pi\nu$)，求该载流子的有效质量 $m^*$（以电子静止质量 $m_0$ 为单位）。
2. 若该实验是在硅（Si）样品的导带底进行，已知硅导带底的等能面是旋转椭球面，横向有效质量 $m_t = 0.19m_0$，纵向有效质量 $m_l = 0.98m_0$。当磁场 $B$ 沿椭球的长轴方向（纵向轴）施加时，回旋共振频率由哪个质量决定？

【知识点】

• PPT P68：回旋共振频率公式 $\omega_c = qB/m^*$。
• 教材 P261：各向异性等能面下的回旋质量，轨迹是垂直于B的截面。

【思路】

1. 直接利用 $\omega_c = eB/m^*$ 计算。
2. 分析几何关系：磁场沿 $z$ 轴（长轴），电子在 $x-y$ 平面（横向）做圆周运动，因此涉及的是横向质量。

【解答】
1. 计算有效质量
角频率 $\omega_c = 2\pi \nu$。
根据公式：
$$\omega_c = \frac{eB}{m^*} \implies m^* = \frac{eB}{2\pi \nu}$$
代入数据（注意单位换算）：
$e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{C}$
$B = 0.2 \text{T}$
$\nu = 24 \times 10^9 \text{Hz}$
$$m^* = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.2}{2\pi \times 24 \times 10^9} \approx \frac{3.2 \times 10^{-20}}{1.507 \times 10^{11}} \approx 2.12 \times 10^{-31} \text{kg}$$
已知电子静止质量 $m_0 \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{kg}$。
$$\frac{m^*}{m_0} = \frac{2.12}{9.11} \approx 0.23$$
即 $m^* \approx 0.23 m_0$。

2. 各向异性讨论
电子在k空间的运动轨迹是等能面与垂直于磁场 $\boldsymbol{B}$ 的平面的交线。

• 等能面方程：$\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_t} + \frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_t} + \frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_l} = E$。
• 磁场 $\boldsymbol{B}$ 沿着长轴（设为 $z$ 轴）。
• 电子的回旋运动发生在垂直于 $B$ 的平面，即 $k_x - k_y$ 平面。
• 在 $k_x - k_y$ 平面上，能带方程简化为涉及 $m_t$ 的圆方程。
• 因此，决定回旋频率的有效质量是横向有效质量 $m_t = 0.19m_0$。
• 此时的回旋频率为 $\omega_c = \frac{eB}{m_t}$。

绘制了一个椭球等能面，形象地展示了 $m_l$（长轴）和 $m_t$（短轴）。
用红色平面和线条展示了电子的回旋轨道。
视觉上直接证明：当磁场沿长轴时，电子是在短轴平面（圆形截面）上旋转的，因此只涉及 $m_t$。

课后习题

这些题目涵盖了从具体的数学推导（能带模型）到数量级估算（运动时间），再到物理概念（空穴与材料分类）的完整体系。

习题一：一维晶格能带结构的定量分析

【问题详细】

已知一维晶格中电子的能带可写成

$$ E\left ( k \right ) = \frac{\hbar^2}{ma^2}\left ( \frac{7}{8} - \cos k\alpha + \frac{1}{8}\cos 2k\alpha \right ) $$

式中，$a$ 是晶格常量，$m$ 是电子的质量，求：
（1）能带宽度；
（2）电子在波矢 $k$ 状态的速度；
（3）能带底部和能带顶部的有效质量。

【问题分析】
本题给定了一个具体的余弦形式的能带结构公式，要求计算能带宽度、电子速度和有效质量。这是对PPT中§5.1章节理论公式的直接应用。
注：题目中同时出现了 $a$ 和 $\alpha$，根据固体物理惯例和量纲分析，余弦函数的变量必须是无量纲的，因此这里的 $\alpha$ 应与晶格常数 $a$ 一致。下文解题中设定 $\alpha = a$。

【解答步骤】

1. 求能带宽度

能带宽度 $\Delta E$ 定义为能带中最高能量与最低能量之差。我们需要寻找 $E(k)$ 的极值点。
令 $x = ka$，能带公式简写为：
$$E(x) = \frac{\hbar^2}{ma^2}\left( \frac{7}{8} - \cos x + \frac{1}{8}\cos 2x \right)$$

求一阶导数寻找极值位置：
$$\frac{dE}{dx} = \frac{\hbar^2}{ma^2} \left( \sin x - \frac{1}{8} \cdot 2 \sin 2x \right) = \frac{\hbar^2}{ma^2} (\sin x - \frac{1}{4}\sin 2x)$$
利用 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，得：
$$\frac{dE}{dx} = \frac{\hbar^2}{ma^2} \sin x (1 - \frac{1}{2}\cos x)$$
令 $\frac{dE}{dx} = 0$，考虑到第一布里渊区 $x \in [-\pi, \pi]$，解得：

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $x = \pm \pi$
• $1 - \frac{1}{2}\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 2$ (无解)

计算极值能量：

• 能带底部 ($k=0$)：
  $$E_{min} = E(0) = \frac{\hbar^2}{ma^2}\left( \frac{7}{8} - 1 + \frac{1}{8} \right) = 0$$
• 能带顶部 ($k = \pm \pi/a$)：
  $$E_{max} = E(\pm \pi/a) = \frac{\hbar^2}{ma^2}\left( \frac{7}{8} - (-1) + \frac{1}{8} \right) = \frac{\hbar^2}{ma^2} \cdot 2 = \frac{2\hbar^2}{ma^2}$$

因此，能带宽度为：
$$\Delta E = E_{max} - E_{min} = \frac{2\hbar^2}{ma^2}$$

2. 求电子在波矢 $k$ 状态的速度

根据群速度公式 $v(k) = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}$：
$$\frac{dE}{dk} = \frac{dE}{dx} \cdot \frac{dx}{dk} = \left[ \frac{\hbar^2}{ma^2} (\sin ka - \frac{1}{4}\sin 2ka) \right] \cdot a$$
$$v(k) = \frac{1}{\hbar} \cdot \frac{\hbar^2}{ma} (\sin ka - \frac{1}{4}\sin 2ka)$$
整理得：
$$v(k) = \frac{\hbar}{ma} \left( \sin ka - \frac{1}{4}\sin 2ka \right)$$

3. 求能带底部和能带顶部的有效质量

根据倒有效质量公式 $\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}$。
先计算二阶导数：
$$\frac{d^2E}{dk^2} = \frac{d}{dk} \left[ \frac{\hbar^2}{ma} (\sin ka - \frac{1}{4}\sin 2ka) \right]$$
$$= \frac{\hbar^2}{ma} \left( a\cos ka - \frac{1}{4} \cdot 2a \cos 2ka \right) = \frac{\hbar^2}{m} \left( \cos ka - \frac{1}{2}\cos 2ka \right)$$

• 在能带底部 ($k=0$)：
  $$\left. \frac{d^2E}{dk^2} \right|_{k=0} = \frac{\hbar^2}{m} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{\hbar^2}{2m}$$
  $$m^*(0) = \frac{\hbar^2}{\hbar^2/2m} = 2m$$
  (注：正有效质量，电子易受外力加速)
• 在能带顶部 ($k=\pi/a$)：
  $$\left. \frac{d^2E}{dk^2} \right|_{k=\pi/a} = \frac{\hbar^2}{m} (-1 - \frac{1}{2}(1)) = -\frac{3\hbar^2}{2m}$$
  $$m^*(\pi/a) = \frac{\hbar^2}{-3\hbar^2/2m} = -\frac{2}{3}m$$
  (注：负有效质量，体现空穴特性)

习题二：外电场下电子穿越能带的时间估算

【问题详细】

晶格常量为 2.5 Å 的一维晶格，当外加 $10^2 \text{V/m}$ 和 $10^7 \text{V/m}$ 的电场时。试分别估算电子自能带底部运动到能带顶部所需要的时间？

【问题分析】
本题考察准动量定理 $\hbar \frac{dk}{dt} = F$ 的应用。题目要求估算电子从能带底运动到能带顶的时间，实际上是计算 $k$ 从 $0$ 变化到 $\pi/a$ 所需的时间。

【解答步骤】

1. 建立运动方程

根据准经典运动方程，恒定电场 $\mathcal{E}$ 下的外力为 $F = -e\mathcal{E}$（取绝对值计算时间，力的大小为 $e\mathcal{E}$）：
$$\hbar \frac{dk}{dt} = e\mathcal{E}$$
由于电场是恒定的，$k$ 随时间均匀变化，积分得：
$$\Delta t = \frac{\hbar \Delta k}{e\mathcal{E}}$$

2. 确定 $k$ 的变化范围

电子从能带底部 ($k=0$) 运动到能带顶部 ($k=\pi/a$)：
$$\Delta k = \frac{\pi}{a} - 0 = \frac{\pi}{a}$$

3. 代入数据计算

已知常数：

• 普朗克常数 $\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
• 元电荷 $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$
• 晶格常数 $a = 2.5 \text{ \AA} = 2.5 \times 10^{-10} \text{ m}$

时间表达式为：
$$\Delta t = \frac{\hbar \pi}{a e \mathcal{E}}$$
先计算常数部分的数值：
$$\frac{\hbar \pi}{a e} = \frac{1.055 \times 10^{-34} \times 3.1416}{2.5 \times 10^{-10} \times 1.602 \times 10^{-19}} \approx \frac{3.314 \times 10^{-34}}{4.005 \times 10^{-29}} \approx 8.27 \times 10^{-6} \text{ s}\cdot\text{V/m}$$

• 情况一：外加电场 $\mathcal{E}_1 = 10^2 \text{ V/m}$
  $$\Delta t_1 = \frac{8.27 \times 10^{-6}}{10^2} \approx 8.3 \times 10^{-8} \text{ s}$$
• 情况二：外加电场 $\mathcal{E}_2 = 10^7 \text{ V/m}$
  $$\Delta t_2 = \frac{8.27 \times 10^{-6}}{10^7} \approx 8.3 \times 10^{-13} \text{ s}$$

结论：在弱电场下，穿越能带需要较长时间（纳秒量级），通常远大于电子的散射时间（$\sim 10^{-14}s$），因此无法完成完整的布洛赫振荡。但在极强电场下，时间缩短至皮秒量级。

习题三：空穴的概念与属性

【问题详细】

什么是“空穴”，简述空穴的属性？

【问题分析】
这是一道概念题，对应PPT §5.3章节。需要从满带电流为零的推论出发，定义空穴并列举其三大属性。

【解答】

1. 什么是“空穴”
在固体物理中，满带（价带）中的电子不参与导电。当满带中失去一个电子（例如被激发到导带）后，留下一个空状态。在电场或磁场作用下，剩余所有电子产生的总电流不为零。为了方便描述，我们将这“少了一个电子的满带”的集体行为，等效为一个带正电荷的准粒子的运动，这个准粒子称为空穴。

2. 空穴的属性
根据推导（$\boldsymbol{J}_{hole} = \boldsymbol{J}_{full} - \boldsymbol{J}_{electron} = 0 - (-e)\boldsymbol{v} = +e\boldsymbol{v}$），空穴具有以下关键属性：

• 电荷：带正电荷 $+e$。
• 速度：空穴的速度等于该状态被电子占据时的电子速度 $\boldsymbol{v}_h(\boldsymbol{k}) = \boldsymbol{v}_e(\boldsymbol{k})$。
• 有效质量：空穴的有效质量为正值。由于空穴通常位于能带顶部，该处电子有效质量 $m^*_e$ 为负值，空穴质量定义为 $m^*_h = -m^*_e > 0$。
• 波矢：虽然通常描述为空状态 $\boldsymbol{k}$，但在动量守恒讨论中，空穴对应的波矢通常记为 $\boldsymbol{k}_h = -\boldsymbol{k}_e$（视具体教材定义，但前三条是核心）。

习题四：导体、半导体、绝缘体的能带填充特点

【问题详细】

试用能带论简述导体、半导体、绝缘体中电子在能带中填充的特点。

【问题分析】
本题考察能带理论对材料导电性的定性解释，对应PPT §5.3章节。关键在于描述“导带”、“满带”和“禁带”的关系。

【解答】

根据能带论，固体导电性能的差异主要取决于电子在能带中的填充情况以及能带隙的大小：

1. 绝缘体 (Insulator)

• 填充特点：在绝对零度下，价带（Valence Band）被电子完全填满，而导带（Conduction Band）完全为空。
• 能隙：满带顶和导带底之间存在一个很宽的禁带（通常 $E_g > 3 \sim 5 \text{ eV}$）。
• 导电性：由于满带电子不导电，且热激发极难跨越宽禁带，因此不导电。

2. 半导体 (Semiconductor)

• 填充特点：与绝缘体类似，0K时价带全满，导带全空。
• 能隙：禁带宽度较窄（通常 $E_g < 2 \sim 3 \text{ eV}$，如Si为1.12 eV）。
• 导电性：在常温下，部分电子可以通过热激发越过禁带进入导带，同时在价带留下空穴，形成电子-空穴混合导电。

3. 导体 (Conductor / Metal)

• 填充特点：存在两种情况。

  • 情况一：最外层能带（导带）只被部分填充（例如一价碱金属，半满）。此时电子只需极小的能量就能跃迁到同能带内的空状态，极易导电。
  • 情况二：满带与空带发生重叠（Overlap，例如二价碱土金属）。虽然原胞内价电子数是偶数本应填满能带，但由于能带重叠，消除了禁带，电子可以在不同能带间自由运动。