能量与波长的基本换算

【问题】
在晶体学研究中，最常用的X射线源是铜靶（Cu），其发射的Kα特征辐射波长约为1.54 Å。请计算一个Cu Kα光子的能量，分别以焦耳（J）和电子伏特（eV）为单位表示。（普朗克常数 h ≈ 6.626 × 10⁻³⁴ J·s，真空光速 c ≈ 3.0 × 10⁸ m/s，电子电荷 e ≈ 1.602 × 10⁻¹⁹ C）

【知识点】
普朗克-爱因斯坦关系式 (E = hc/λ)；焦耳与电子伏特的单位换算。

【思路】
这是一个基础但至关重要的计算，是连接波动性（波长）和粒子性（能量）的桥梁。

1. 首先，将波长单位从埃（Å）统一到国际标准单位米（m）。
2. 使用核心公式 E = hc/λ 计算出能量，单位为焦耳（J）。
3. 利用 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J 的关系，将焦耳单位的能量换算为电子伏特（eV）。

【解答】
步骤1：单位换算
波长 λ = 1.54 Å = 1.54 × 10⁻¹⁰ m

步骤2：计算能量（焦耳）

$$ E = \frac{hc}{\lambda} $$

$$ E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}) \times (3.0 \times 10^8 \, \text{m/s})}{1.54 \times 10^{-10} \, \text{m}} \approx 1.29 \times 10^{-15} \, \text{J} $$

步骤3：计算能量（电子伏特）

$$ E(\text{eV}) = \frac{E(\text{J})}{e} $$

$$ E(\text{eV}) = \frac{1.29 \times 10^{-15} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \approx 8052 \, \text{eV} \approx 8.05 \, \text{keV} $$

连续谱的控制与分析

【问题】
一台X射线管的工作电压设置为40 kV。
(a) 计算其产生的连续X射线谱的最短波长极限($\lambda_{swl}$)。
(b) 如果保持靶材和管电压不变，仅将管电流从10 mA增加到20 mA，请描述连续谱和特征谱的图像会发生怎样的变化。

【知识点】
杜安-亨特特定律；管电压和管电流对X射线谱强度的影响。

【思路】
(a) 这是杜安-亨特特定律的直接应用。电子的全部动能 $eV$ 转化为一个光子的能量 $hc/\lambda_{swl}$。可以使用笔记中提到的简化公式进行快速计算。
(b) 这是考察对X射线谱图影响因素的理解。需要分开讨论连续谱和特征谱，并抓住核心变量：管电流本质上是单位时间内的电子数。

【解答】
(a) 计算最短波长极限
根据杜安-亨特特定律的实用计算公式：

$$ \lambda_{swl} (\text{nm}) = \frac{1240}{V (\text{volts})} $$

其中 V = 40 kV = 40,000 V

$$ \lambda_{swl} (\text{nm}) = \frac{1240}{40000} = 0.031 \, \text{nm} $$

换算成埃（Å）：

$$ \lambda_{swl} = 0.31 \, \text{Å} $$

(b) 描述谱图变化
管电流（i）是单位时间内轰击靶材的电子数量。

• 对连续谱的影响：连续谱的总强度 $I_{连续} \propto Z \cdot i \cdot V^m$ (m≈2)。当 Z 和 V 不变时，强度与电流 i 成正比。因此，将管电流加倍，连续谱曲线上每一点的强度都会加倍。图像上表现为连续谱的背景整体按比例增高，但其形状、起始点($\lambda_{swl}$)和峰位均保持不变。
• 对特征谱的影响：特征谱的绝对强度 $I_{特} \propto i \cdot (V-V_k)^n$ (n≈1.5)。当 V 和 $V_k$ 不变时，强度也与电流 i 成正比。因此，特征谱的几根尖峰也会等比例增高，但其波长位置绝对不变。

特征谱与元素鉴定

【问题】
已知铁（Fe, Z=26）的Kα特征谱线波长为1.937 Å。现有一种未知金属材料，测得其Kα谱线波长为1.790 Å。请利用莫塞莱定律判断该未知材料最可能是什么元素。（假设屏蔽常数 σ=1）

【知识点】
莫塞莱定律的波长形式。

【思路】
莫塞莱定律建立了特征谱线波长与原子序数Z之间的确定关系。我们不需要知道定律中的常数，可以通过建立比例关系来求解。

1. 写出莫塞莱定律的波长形式：$1/\lambda = K_2(Z-\sigma)^2$。
2. 对已知元素（Fe）和未知元素（X）分别列出方程。
3. 将两个方程相除，消去常数 $K_2$，得到一个只包含波长和原子序数的比例式。
4. 代入已知数值，解出未知元素的原子序数 $Z_X$。
5. 根据原子序数查周期表确定元素。

【解答】
步骤1：列出莫塞莱定律方程
对于铁（Fe）：

$$ \frac{1}{\lambda_{Fe}} = K_2 (Z_{Fe} - \sigma)^2 $$

对于未知元素（X）：

$$ \frac{1}{\lambda_{X}} = K_2 (Z_{X} - \sigma)^2 $$

步骤2：建立比例关系
将两式相除：

$$ \frac{\lambda_{Fe}}{\lambda_{X}} = \frac{(Z_{X} - \sigma)^2}{(Z_{Fe} - \sigma)^2} $$

开方得到：

$$ \sqrt{\frac{\lambda_{Fe}}{\lambda_{X}}} = \frac{Z_{X} - \sigma}{Z_{Fe} - \sigma} $$

步骤3：代入数值求解 $Z_X$
已知 $\lambda_{Fe} = 1.937$ Å, $Z_{Fe} = 26$, $\lambda_{X} = 1.790$ Å, $\sigma=1$。

$$ \sqrt{\frac{1.937}{1.790}} = \frac{Z_{X} - 1}{26 - 1} $$

$$ \sqrt{1.082} = \frac{Z_{X} - 1}{25} $$

$$ 1.040 = \frac{Z_{X} - 1}{25} $$

$$ Z_{X} - 1 = 1.040 \times 25 = 26.0 $$

$$ Z_{X} = 27.0 $$

步骤4：确定元素
原子序数为27的元素是钴（Co）。因此，该未知材料最可能是钴。

衍射分析的核心计算

【问题】
在使用Cu Kα辐射（λ=1.542 Å）的衍射仪上分析一种具有体心立方（BCC）结构的金属铁（Fe）。已知其（110）晶面的晶面间距 $d_{110}$ 为2.027 Å。请计算该晶面产生的第一级（n=1）布拉格衍射峰将出现在哪个 $2\theta$ 角度上。

【知识点】
布拉格定律 (nλ = 2dsinθ)。

【思路】
这是布拉格定律最直接的应用。题目给出了 n, λ, d，要求解衍射角 $2\theta$。

1. 写出布拉格定律公式。
2. 将公式变形，求解 $\sin\theta$。
3. 代入数值计算出 $\sin\theta$ 的值。
4. 通过反正弦函数求出布拉格角 $\theta$。
5. 将 $\theta$ 乘以2，得到衍射仪上读出的 $2\theta$ 角。

【解答】
步骤1：写出并变形布拉格定律

$$ n\lambda = 2d\sin\theta $$

$$ \sin\theta = \frac{n\lambda}{2d} $$

步骤2：代入数值计算
已知 n=1, λ=1.542 Å, d=2.027 Å。

$$ \sin\theta = \frac{1 \times 1.542 \, \text{Å}}{2 \times 2.027 \, \text{Å}} = \frac{1.542}{4.054} \approx 0.3804 $$

步骤3：求解角度

$$ \theta = \arcsin(0.3804) \approx 22.36^\circ $$

步骤4：计算衍射角 $2\theta$

$$ 2\theta = 2 \times 22.36^\circ = 44.72^\circ $$

因此，（110）晶面的第一级衍射峰将出现在 $2\theta = 44.72^\circ$ 的位置。

滤波片的原理与选择

【问题】
在进行X射线衍射实验时，若选用铬靶（Cr, Z=24）作为X射线源，为了获得尽可能纯净的Cr Kα射线，需要滤除Cr Kβ射线。根据你的手写笔记中总结的经验原则，应该选择哪种金属元素作为滤波片？请阐述其物理原理。

【知识点】
滤波片选择的经验原则；吸收限在滤波中的应用。

【思路】
这是一个理论应用题，需要结合经验规则和物理原理。

1. 首先判断铬（Cr）的原子序数Z所属的范围。
2. 根据Z的范围，应用对应的经验法则（Z靶-1 或 Z靶-2）来确定滤波片元素的原子序数。
3. 确定元素。
4. 详细解释其工作原理，即“吸收边”技术：滤波片元素的K吸收限波长恰好位于靶材Kβ和Kα波长之间，从而对Kβ产生强烈的“光电吸收”，而对Kα的吸收则弱得多。

【解答】
选择滤波片：
铬（Cr）的原子序数 Z=24，小于40。根据经验原则 “Z靶 < 40时，Z滤 = Z靶 - 1”，我们应选择原子序数为 $24 - 1 = 23$ 的元素。
查阅元素周期表，Z=23的元素是钒（V）。

物理原理阐述：
其原理是利用了元素的K吸收限特性。

1. 吸收限位置：钒（V）的K吸收限波长 $\lambda_{K(V)}$ 正好位于铬靶（Cr）发射的Kβ谱线波长 $\lambda_{K\beta(Cr)}$ 和Kα谱线波长 $\lambda_{K\alpha(Cr)}$ 之间。即满足关系：$\lambda_{K\beta(Cr)} < \lambda_{K(V)} < \lambda_{K\alpha(Cr)}$。

2. 选择性吸收：

   • 对于 Cr Kβ 射线，其光子能量高于钒的K电子结合能，因此能够有效地将钒的K层电子击出，发生强烈的光电效应，从而被钒滤片极大地吸收。
   • 对于 Cr Kα 射线，其光子能量低于钒的K电子结合能，不足以激发钒的K层电子。它只能通过其他效率低得多的吸收机制被吸收，因此能够大部分地穿透钒滤片。
     通过这种方式，Kβ射线被显著削弱，而Kα射线的强度得以保留，最终实现了获得相对单色的Kα射线的目的。