习题说明

这些题目不仅仅是计算，更是对理论体系的再一次“复盘”。它们涵盖了从波函数的基本性质，到两种近似模型的具体计算，最后到电子动力学和统计性质的综合应用。

习题 1：布洛赫定理与电子概率密度的周期性

问题
已知一维晶体中电子的布洛赫波函数为 $\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x)$。
(1) 证明电子在晶体中出现的概率密度 $\rho(x)$ 具有与晶格相同的周期性，即 $\rho(x+na) = \rho(x)$。
(2) 如果 $k$ 变为 $k' = k + \frac{2\pi}{a}n$，证明波函数描述的物理状态不变。

知识点
本题对应PPT第6-14页及布洛赫定理推导部分。

• 重点关联：考察布洛赫函数的定义式以及平移算符的物理意义（笔记中强调的 $|\lambda|=1$）。
• 递进关系：这是能带理论的数学基石，理解了波函数的周期性调幅，才能理解后面的微扰计算。

思路

1. 利用布洛赫定理 $\psi(x+a) = e^{ika}\psi(x)$ 或者 $\psi(x) = e^{ikx}u(x)$ 的形式。
2. 概率密度定义为 $\rho(x) = |\psi(x)|^2 = \psi^*(x)\psi(x)$。
3. 利用倒格矢 $G = \frac{2\pi}{a}n$ 的性质 $e^{iGx} = 1$ (在格点处) 或 $u_k$ 的周期性。

解答
(1) 证明概率密度周期性：
根据布洛赫定理，晶体电子波函数满足：
$$ \psi_k(x+a) = e^{ika} \psi_k(x) $$
其中 $a$ 为晶格常数。
电子的概率密度为：
$$ \rho(x+a) = |\psi_k(x+a)|^2 = \psi_k^*(x+a) \psi_k(x+a) $$
代入布洛赫性质：
$$ \rho(x+a) = (e^{-ika} \psi_k^*(x)) (e^{ika} \psi_k(x)) = e^{-ika}e^{ika} \psi_k^*(x)\psi_k(x) $$
因为 $e^{-ika}e^{ika} = 1$，所以：
$$ \rho(x+a) = \psi_k^*(x)\psi_k(x) = \rho(x) $$
这说明电子出现的概率密度具有晶格周期性。

波函数在振荡，但底下的概率密度图是完美重复的，这直接证明了“物理状态的周期性”。

(2) 证明波矢平移等价性：
设 $k' = k + G_n$，其中 $G_n = \frac{2\pi}{a}n$。
布洛赫波函数的一般形式为：
$$ \psi_{k'}(x) = e^{i(k+G_n)x} u_{k'}(x) = e^{ikx} (e^{iG_n x} u_{k'}(x)) $$
由于 $e^{iG_n x}$ 具有晶格周期性（$e^{iG_n(x+a)} = e^{iG_n x} e^{i 2\pi n} = e^{iG_n x}$），我们可以将括号内的部分定义为新的周期函数 $\tilde{u}_k(x) = e^{iG_n x} u_{k'}(x)$。
因此：
$$ \psi_{k'}(x) = e^{ikx} \tilde{u}_k(x) $$
这依然是一个波矢为 $k$ 的布洛赫函数。因此，波矢 $k$ 和 $k+G_n$ 描述的是同一个量子态（或者说可以通过能带指数 $n$ 的重排来对应），这也是为什么我们将 $k$ 限制在第一布里渊区的原因。

习题 2：近自由电子近似与能隙计算

问题
考虑一维晶格，晶格常数为 $a$。电子受到微弱的周期性势场 $V(x)$ 作用：
$$ V(x) = 2V_1 \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) $$
(1) 利用简并微扰论，计算在布里渊区边界 $k = \pm \frac{\pi}{a}$ 处的能量本征值。
(2) 求出该处的禁带宽度 $E_g$。

知识点
本题对应PPT第18-35页，特别是笔记中关于“简并微扰”和“能隙形成”的推导。

• 重点关联：PPT强调了在 $k=n\pi/a$ 处，$E^0_k$ 与 $E^0_{k-G}$ 简并，非简并微扰失效，必须解久期方程。
• 递进关系：从定性理解势场对波函数的影响，进阶到定量计算能隙大小。

思路

1. 写出势场的傅里叶展开形式，确定 $V_G$。
2. 确定满足布拉格反射条件的波矢 $k = \pi/a$，此时 $k$ 与 $k' = k - \frac{2\pi}{a} = -\frac{\pi}{a}$ 能量简并。
3. 建立 $2 \times 2$ 的久期方程（Secular Equation）。
4. 求解本征值，差值即为能隙。

解答
(1) 势场的傅里叶展开：
利用欧拉公式，势场可写为：
$$ V(x) = V_1 (e^{i\frac{2\pi}{a}x} + e^{-i\frac{2\pi}{a}x}) $$
对应的倒格矢为 $G = \frac{2\pi}{a}$ 和 $-G = -\frac{2\pi}{a}$。
势场的傅里叶系数为：$V_{G} = V_1, \quad V_{-G} = V_1, \quad V_0 = 0$（假设平均势能为0）。

(2) 建立久期方程：
在边界 $k = \frac{\pi}{a}$ 处，自由电子能量为 $E^0_k = \frac{\hbar^2 (\pi/a)^2}{2m}$。
与之发生强相互作用（简并）的状态是 $k' = k - G = \frac{\pi}{a} - \frac{2\pi}{a} = -\frac{\pi}{a}$。
此时 $E^0_{k'} = \frac{\hbar^2 (-\pi/a)^2}{2m} = E^0_k$。
根据简并微扰论，波函数由 $|\psi_k\rangle$ 和 $|\psi_{k-G}\rangle$ 线性组合而成，系数满足方程组：
$$ \begin{pmatrix} E^0_k - E & V_G \\ V_{-G} & E^0_{k-G} - E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = 0 $$
代入数值：
$$ \begin{pmatrix} E^0 - E & V_1 \\ V_1 & E^0 - E \end{pmatrix} = 0 $$

(3) 求解能量与能隙：
令行列式为零：
$$ (E^0 - E)^2 - V_1^2 = 0 $$
$$ E^0 - E = \pm V_1 \implies E = E^0 \pm V_1 $$
即能带在边界处分裂为两个能级：
$$ E_+ = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} + V_1, \quad E_- = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2} - V_1 $$
禁带宽度为：
$$ E_g = E_+ - E_- = 2V_1 $$
这验证了结论：能隙宽度等于势场相应傅里叶分量幅度的两倍。

红蓝两线在边界分开，中间空出的区域就是禁带。

习题 3：紧束缚近似与能带宽度

问题
对于一个晶格常数为 $a$ 的一维单原子链，利用紧束缚近似（只考虑最近邻相互作用），电子的能量色散关系为：
$$ E(k) = E_0 - J_0 - 2J_1 \cos(ka) $$
其中 $E_0$ 为原子能级，$J_1 > 0$ 为最近邻交叠积分。
(1) 画出第一布里渊区内的 $E(k)$ 示意图。
(2) 求出该能带的宽度（Bandwidth）。
(3) 这一结果说明原子间距变小（导致 $J_1$ 变化）时，能带如何变化？

知识点
本题对应PPT第101-120页。

• 重点关联：PPT中详细推导了简单立方晶格的 $s$ 态能带方程。本题将其简化为一维，重点考察对公式物理意义的理解。
• 递进关系：从近自由电子的“微扰断裂”视角，切换到由原子能级“展宽”的视角，这是理解绝缘体和半导体的关键。

思路

1. 分析余弦函数的极值性质。
2. 确定 $k$ 在第一布里渊区 $[-\pi/a, \pi/a]$ 内的最大值和最小值。
3. 能带宽度 = 最大能量 - 最小能量。
4. 联系物理图像：原子靠得越近，波函数重叠越厉害，$J_1$ 越大。

解答

(1) 示意图分析：
函数为余弦函数形式。

• 在 $k=0$ (能带底，$\Gamma$点)：$\cos(0)=1 \Rightarrow E_{min} = E_0 - J_0 - 2J_1$。
• 在 $k=\pm \pi/a$ (能带顶，边界)：$\cos(\pm \pi) = -1 \Rightarrow E_{max} = E_0 - J_0 + 2J_1$。
  图像为开口向上的抛物线形状（在 $k=0$ 附近）。

(2) 能带宽度：
$$ \text{Width} = E_{max} - E_{min} = (E_0 - J_0 + 2J_1) - (E_0 - J_0 - 2J_1) = 4J_1 $$

(3) 物理分析：
$J_1$ 是交叠积分，代表电子在相邻原子间“跳跃”的能力。
当原子间距 $a$ 变小时，相邻原子的波函数重叠程度增加，导致 $J_1$ 增大。
根据 $\text{Width} = 4J_1$，原子间距越小，能带越宽。
这解释了为什么内层电子（重叠小）能带极窄，而外层价电子（重叠大）能带很宽。

习题 4：有效质量与电子动力学

问题
假设某种二维正方晶格的导带底能量色散关系为：
$$ E(k_x, k_y) = \hbar^2 \left( \frac{k_x^2}{m_1} + \frac{k_y^2}{m_2} \right) $$
其中 $m_1 = m_e, m_2 = 4m_e$ ($m_e$为电子静止质量)。
(1) 求该能带底的有效质量张量。
(2) 如果沿着 $x$ 方向施加恒定电场 $\vec{F} = (F, 0)$，电子的加速度是多少？
(3) 如果沿着 $y$ 方向施加同样的电场，电子的加速度是多少？这说明了什么物理意义？

知识点
本题对应PPT第121-123页及手写笔记中关于曲率与质量关系的讨论。

• 重点关联：有效质量是张量，由二阶导数决定。$m^* = \hbar^2 (\frac{d^2E}{dk^2})^{-1}$。
• 递进关系：将静态的能带结构转化为动态的电子输运性质，理解晶体各向异性。

思路

1. 利用有效质量张量定义 $(m^*)^{-1}_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}$。
2. 利用准经典运动方程 $\vec{a} = (m^*)^{-1} \vec{F}$。

解答
(1) 有效质量张量：
计算二阶导数：
$$ \frac{\partial^2 E}{\partial k_x^2} = \frac{2\hbar^2}{m_1}, \quad \frac{\partial^2 E}{\partial k_y^2} = \frac{2\hbar^2}{m_2}, \quad \frac{\partial^2 E}{\partial k_x \partial k_y} = 0 $$
倒有效质量张量为：
$$ (\frac{1}{m^*}) = \frac{1}{\hbar^2} \begin{pmatrix} \frac{2\hbar^2}{m_1} & 0 \\ 0 & \frac{2\hbar^2}{m_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{m_1} & 0 \\ 0 & \frac{2}{m_2} \end{pmatrix} $$
注意：题目给出的形式本身已经是泰勒展开形式，通常定义的 $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$，这里系数没有 $1/2$，所以二阶导数多出了一个因子2。若按照标准定义 $E = \frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x}$，则 $m_x^* = m_1/2$。
这里我们严格按照张量公式计算。

(2) 沿x方向施加电场 $\vec{F} = (F, 0)$：
$$ a_x = (\frac{1}{m^*})_{xx} F_x = \frac{2}{m_1} F = \frac{2F}{m_e} $$
$$ a_y = 0 $$

(3) 沿y方向施加电场 $\vec{F} = (0, F)$：
$$ a_x = 0 $$
$$ a_y = (\frac{1}{m^*})_{yy} F_y = \frac{2}{m_2} F = \frac{2F}{4m_e} = \frac{F}{2m_e} $$

椭圆形的等能面。在x轴方向（椭圆短轴方向），等能面很密，代表曲率大、有效质量小、加速度红箭头很长——这就是“轻电子”。

物理意义：
虽然施加的力大小相同，但电子在 $x$ 方向的加速度是在 $y$ 方向加速度的 4 倍。
这说明晶体中的电子表现出显著的各向异性。能带曲率越大（$x$方向），有效质量越小，电子越容易被加速。

习题 5：能态密度与范霍夫奇点

问题
对于一维紧束缚能带 $E(k) = -2J \cos(ka)$ (忽略常数项)。
(1) 推导一维能态密度 $N(E)$ 的表达式。
(2) 分析当 $E$ 趋近于能带底 ($-2J$) 和能带顶 ($+2J$) 时，$N(E)$ 的变化趋势，并指出奇点类型。

知识点
本题对应PPT第146-155页。

• 重点关联：PPT特别给出了三维情况的积分公式，手写笔记强调了 $dE/dk=0$ 处导致能态密度发散（范霍夫奇点）。
• 递进关系：能态密度是连接微观能级和宏观实验（如X射线发射谱）的桥梁。

思路

1. 利用一维能态密度公式 $N(E) = \frac{2}{\pi} \frac{1}{|dE/dk|}$ (考虑自旋，且 $k$ 空间密度为 $L/\pi$)，或者是单位体积下的 $N(E) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{|dE/dk|}$。
2. 计算 $dE/dk$。
3. 利用三角恒等式将 $\sin(ka)$ 转化为 $E$ 的函数。

解答

(1) 推导 $N(E)$：
$$ \frac{dE}{dk} = 2Ja \sin(ka) $$
利用 $\cos(ka) = -E/2J$，有：
$$ \sin(ka) = \sqrt{1 - \cos^2(ka)} = \sqrt{1 - (E/2J)^2} $$
因此：
$$ \left| \frac{dE}{dk} \right| = 2Ja \sqrt{1 - \left(\frac{E}{2J}\right)^2} $$
一维能态密度（不考虑自旋，单位长度）：
$$ N(E) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{|dE/dk|} = \frac{1}{2\pi Ja \sqrt{1 - (E/2J)^2}} = \frac{1}{\pi a \sqrt{4J^2 - E^2}} $$

(2) 奇点分析：
当 $E \to \pm 2J$ 时，分母 $\sqrt{4J^2 - E^2} \to 0$。
此时 $N(E) \to \infty$。
这对应于 $dE/dk = 0$ 的点（带顶和带底）。这些点被称为范霍夫奇点 (Van Hove Singularities)。
在一维体系中，能带边缘的态密度是发散的（反比于平方根）。这与三维情况（带边趋于0）形成鲜明对比。

习题 6：能带填充与导电性

问题
考虑一维单原子链，每个原子只有一个价电子。
(1) 按照泡利不相容原理，电子将填充到布里渊区的什么位置？（求费米波矢 $k_F$）。
(2) 此时能带是半满还是全满？该材料是金属还是绝缘体？
(3) 如果原子有两个价电子，情况有何不同？

知识点
本题对应PPT第160-166页及笔记中关于金属/绝缘体判据的讨论。

• 重点关联：PPT明确指出“半满带是金属”，“满带是绝缘体/半导体”。
• 递进关系：这是能带理论的终极应用——解释为什么有的材料导电，有的不导电。

思路

1. 第一布里渊区范围 $[-\pi/a, \pi/a]$，共有 $N$ 个 $k$ 状态。
2. 考虑自旋，每个能带最多容纳 $2N$ 个电子。
3. 根据电子总数判断填充程度。

解答
(1) 费米波矢：
设有 $N$ 个原胞，总长度 $L=Na$。
$k$ 空间状态密度为 $L/2\pi$。
每个原子1个电子，总电子数 $N$。
考虑自旋，每个 $k$ 态容纳2个电子。需要的 $k$ 态数量为 $N/2$。
电子从 $k=0$ 开始向两侧填充，占据的 $k$ 空间长度为：
$$ \Delta k = \frac{N/2}{L/2\pi} = \frac{N\pi}{L} = \frac{N\pi}{Na} = \frac{\pi}{a} $$
填充范围为 $[-\pi/2a, \pi/2a]$。
因此，费米波矢 $k_F = \frac{\pi}{2a}$。

(2) 导电性判定：
第一布里渊区边界为 $\pm \pi/a$。
现在的填充范围是 $\pm \pi/2a$，刚好占据了布里渊区的一半。
结论：这是一个半满带 (Half-filled band)。电子在费米面附近有空的量子态可以跃迁，因此该材料是金属 (导体)。

左边是金色的半满状态（有空位可导电），右边是蓝色的全满状态（无空位不导电）。

(3) 二价原子情况：
如果有2个价电子，总电子数为 $2N$。
需要的状态数为 $2N/2 = N$。
这刚好填满整个第一布里渊区（$2N$个位置全部被占）。
结论：这是一个满带 (Filled band)。

• 如果该能带与更高能带有重叠，它仍是金属（如二价碱土金属）。
• 如果该能带与更高能带之间存在能隙（Gap），且温度较低，它是绝缘体或半导体。