习题知识点核心

1. 振动谱与测量方法
2. 爱因斯坦模型与经典/低温极限
3. 德拜模型与模式密度

习题一：晶格振动谱的测量原理

问题

请阐述利用中子非弹性散射实验测定晶体中声子振动谱 $\omega(\vec{q})$ 的原理，并写出该过程必须满足的能量和准动量守恒关系式。

知识点

中子非弹性散射原理；能量守恒；准动量守恒；晶格振动谱 $\omega(\vec{q})$。

思路

1. 确定中子散射过程中的能量和准动量变化。
2. 声子的产生（发射）或湮灭（吸收）导致能量和准动量的转移。
3. 根据两个守恒定律列出关系式。

解答

中子非弹性散射是测量晶格振动谱的主要方法。实验通过测量入射中子和散射中子的能量和动量变化，来确定晶体中激发或湮灭的声子的能量 $\hbar \omega$ 和准动量 $\hbar \vec{q}$，从而得到 $\omega(\vec{q})$ 关系。

1. 能量守恒关系

入射中子的能量 $E = \frac{p^2}{2M_n}$，出射中子的能量 $E' = \frac{p'^2}{2M_n}$。散射过程中中子与声子发生能量交换。

$$E - E' = \pm \hbar \omega(\vec{q})$$

$$\frac{p^2}{2M_n} - \frac{p'^2}{2M_n} = \pm \hbar \omega(\vec{q})$$

（$+ \hbar \omega$: 中子吸收一个声子；$- \hbar \omega$: 中子发射一个声子）

2. 准动量守恒关系

入射中子的动量 $\vec{p}$，出射中子的动量 $\vec{p}'$。晶体格波的准动量为 $\hbar \vec{q}$，$\hbar \vec{G}_n$ 为倒格子矢量。

$$\vec{p} - \vec{p}' = \pm \hbar \vec{q} \pm \hbar \vec{G}_n$$

（$\pm \hbar \vec{q}$: 声子的准动量；$\pm \hbar \vec{G}_n$: 晶体作为整体的反冲动量，其准动量是量子化的）

习题二：爱因斯坦热容的低温和高温极限

问题

请基于爱因斯坦模型的单振动模热容贡献公式 $C_{V_j} = k_B \left(\frac{\hbar \omega_0}{k_B T}\right)^2 \frac{e^{\hbar \omega_0/k_B T}}{(e^{\hbar \omega_0/k_B T} - 1)^2}$，推导晶体总热容 $C_V$ 在高温极限 ($T \gg \Theta_E$) 和低温极限 ($T \ll \Theta_E$) 下的表达式，并讨论其与实验的符合情况。

知识点

爱因斯坦模型；高温极限 (杜隆-珀替定律)；低温极限 (指数下降)。

思路

1. 将 $x = \frac{\hbar \omega_0}{k_B T} = \frac{\Theta_E}{T}$ 代入总热容公式 $C_V = 3 N C_{V_j}$。
2. 对高温极限 ($x \ll 1$) 使用泰勒展开 $e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2} x^2$。
3. 对低温极限 ($x \gg 1$) 使用 $e^x \gg 1$ 的近似。

解答

爱因斯坦模型晶体总热容 $C_V$：

$$C_V = 3 N k_B \left(\frac{\hbar \omega_0}{k_B T}\right)^2 \frac{e^{\hbar \omega_0/k_B T}}{(e^{\hbar \omega_0/k_B T} - 1)^2}$$

设 $x = \frac{\hbar \omega_0}{k_B T} = \frac{\Theta_E}{T}$，则：

$$C_V = 3 N k_B \left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2 \frac{e^{\Theta_E/T}}{(e^{\Theta_E/T} - 1)^2}$$

1. 高温极限 ($T \gg \Theta_E$):

此时 $x = \frac{\Theta_E}{T} \ll 1$。利用近似 $e^x \approx 1 + x$ 和 $(e^x - 1)^2 \approx x^2$：

$$C_V \approx 3 N k_B \left(x\right)^2 \frac{1 + x}{(1 + x - 1)^2} = 3 N k_B \left(x\right)^2 \frac{1 + x}{x^2}$$

由于 $x \ll 1$，进一步近似 $1+x \approx 1$:

$$C_V \approx 3 N k_B$$

结论: 在高温极限下，爱因斯坦模型预测 $C_V \approx 3 N k_B$，符合杜隆-珀替定律。

2. 低温极限 ($T \ll \Theta_E$):

此时 $x = \frac{\Theta_E}{T} \gg 1$。利用近似 $e^x \gg 1$：

$$(e^x - 1)^2 \approx (e^x)^2 = e^{2x}$$

$$C_V \approx 3 N k_B (x)^2 \frac{e^x}{e^{2x}} = 3 N k_B x^2 e^{-x}$$

代回 $x$:

$$C_V \approx 3 N k_B \left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2 e^{-\Theta_E/T}$$

结论: 在低温极限下，爱因斯坦模型预测 $C_V$ 按温度的指数形式降低。这比经典理论的 $C_V = 3 N k_B$ 好得多（$C_V \to 0$），但与实验测得的 $C_V \propto T^3$ 规律不符。

习题三：德拜模型模式密度推导

问题

在德拜近似下，晶体的声学支模式密度 $g(\omega) \propto \omega^2$。请从三维模式密度的一般表达式出发，推导该模式密度函数，并说明其与德拜截止频率 $\omega_m$ 的关系。

知识点

德拜近似；模式密度 $g(\omega)$ 的一般表达式；线性色散关系 $\omega=c q$；德拜截止频率 $\omega_m$。

思路

1. 使用三维模式密度一般公式，并考虑三个声学支的贡献。
2. 德拜近似采用线性色散关系 $\omega = \bar{C} q$，计算等频率面面积 $d s$ 和梯度 $|\nabla_q \omega(\vec{q})|$。
3. 将三个分支合并，得到总模式密度 $g(\omega)$。
4. 利用总模式数目 $3N$ 确定 $\omega_m$。

解答

1. 模式密度的一般表达式（三维）

对于包含 $s$ 个分支的格波，模式密度为：

$$g(\omega) = \sum_{s} g_s(\omega) = \sum_{s} \frac{V}{(2\pi)^3} \int_{\omega_s(\vec{q})=\omega} \frac{d s}{|\nabla_q \omega_s(\vec{q})|}$$

2. 德拜近似与参数计算

德拜模型采用线性色散关系 $\omega = c_s q$，其中 $c_s$ 为声速。

• 波矢 $q$: $q = \frac{\omega}{c_s}$
• 等频率面面积 $d s$: $d s = 4\pi q^2 = 4\pi \left(\frac{\omega}{c_s}\right)^2$
• 梯度 $|\nabla_q \omega_s(\vec{q})|$: $|\nabla_q \omega_s(\vec{q})| = \left|\frac{\partial \omega}{\partial q}\right| = c_s$

3. 总模式密度 $g(\omega)$ 的推导

代入 $g(\omega)$ 公式，并考虑一个纵波 $c_L$ 和两个横波 $c_T$：

$$g(\omega) = \frac{V}{(2\pi)^3} \left[\frac{4\pi (\omega/c_L)^2}{c_L} + \frac{2 \cdot 4\pi (\omega/c_T)^2}{c_T}\right]$$

$$g(\omega) = \frac{V}{2\pi^2} \left[\frac{\omega^2}{c_L^3} + \frac{2 \omega^2}{c_T^3}\right]$$

$$g(\omega) = \frac{V \omega^2}{2\pi^2} \left(\frac{1}{c_L^3} + \frac{2}{c_T^3}\right)$$

引入平均声速 $\bar{C}$ 的定义 $\frac{3}{\bar{C}^3} = \left(\frac{1}{c_L^3} + \frac{2}{c_T^3}\right)$:

$$g(\omega) = \frac{V \omega^2}{2\pi^2} \frac{3}{\bar{C}^3}$$

$$g(\omega) = \frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} \omega^2$$

4. 与德拜截止频率 $\omega_m$ 的关系

德拜模型要求总振动模数目为 $3N$，通过对 $g(\omega)$ 从 $0$ 积分到 $\omega_m$ 来确定 $\omega_m$:

$$\int_0^{\omega_m} g(\omega) d\omega = 3 N$$

$$\frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} \int_0^{\omega_m} \omega^2 d\omega = 3 N$$

$$\frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} \frac{\omega_m^3}{3} = 3 N$$

$$\omega_m^3 = \frac{6 \pi^2 \bar{C}^3 N}{V} \quad \Rightarrow \quad \frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} = \frac{9 N}{\omega_m^3}$$

因此，德拜模式密度与 $\omega_m$ 的最终关系式为：

$$g(\omega) = \frac{9 N}{\omega_m^3} \omega^2$$

习题四：德拜 $T^3$ 定律推导

问题

请利用德拜模型下的热容函数（积分形式），推导在极低温极限 ($T \ll \Theta_D$) 下的晶体热容表达式，即德拜 $T^3$ 定律。

知识点

德拜热容函数；低温极限；德拜 $T^3$ 定律。

思路

1. 写出德拜热容的积分形式，并引入 $\xi = \frac{\hbar \omega}{k_B T}$。
2. 在 $T \ll \Theta_D$ 极限下，积分上限 $\Theta_D/T \to \infty$。
3. 利用定积分结果 $\int_0^\infty \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi = \frac{4\pi^4}{15}$。

解答

1. 德拜热容函数

晶体定容热容 $C_V$ 在德拜模型下的表达式为（其中 $\xi = \frac{\hbar \omega}{k_B T}$）：

$$C_V = 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi$$

2. 低温极限

在极低温极限下，$T \ll \Theta_D$，故积分上限 $\frac{\Theta_D}{T}$ 趋于无穷：

$$\frac{\Theta_D}{T} \to \infty$$

$$C_V \approx 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\infty} \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi$$

3. 定积分代入

利用已知的定积分结果：

$$\int_0^{\infty} \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi = \frac{4\pi^4}{15}$$

代入 $C_V$ 表达式：

$$C_V = 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \frac{4\pi^4}{15}$$

4. 最终结果（德拜 $T^3$ 定律）

$$C_V = \frac{12\pi^4}{5} R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3$$

结论: 在极低温下，晶体的热容与温度的三次方成正比，即 $C_V \propto T^3$。这与实验结果高度吻合，尤其适用于描述绝缘体和半导体的低温热容。