例题分析

1. 振动谱与测量方法
2. 爱因斯坦模型与经典/低温极限
3. 德拜模型与模式密度

习题一：晶格振动谱的测量原理

问题

请阐述利用中子非弹性散射实验测定晶体中声子振动谱 $\omega(\vec{q})$ 的原理，并写出该过程必须满足的能量和准动量守恒关系式。

知识点

中子非弹性散射原理；能量守恒；准动量守恒；晶格振动谱 $\omega(\vec{q})$。

思路

1. 确定中子散射过程中的能量和准动量变化。
2. 声子的产生（发射）或湮灭（吸收）导致能量和准动量的转移。
3. 根据两个守恒定律列出关系式。

解答

中子非弹性散射是测量晶格振动谱的主要方法。实验通过测量入射中子和散射中子的能量和动量变化，来确定晶体中激发或湮灭的声子的能量 $\hbar \omega$ 和准动量 $\hbar \vec{q}$，从而得到 $\omega(\vec{q})$ 关系。

1. 能量守恒关系

入射中子的能量 $E = \frac{p^2}{2M_n}$，出射中子的能量 $E' = \frac{p'^2}{2M_n}$。散射过程中中子与声子发生能量交换。

$$E - E' = \pm \hbar \omega(\vec{q})$$

$$\frac{p^2}{2M_n} - \frac{p'^2}{2M_n} = \pm \hbar \omega(\vec{q})$$

（$+ \hbar \omega$: 中子吸收一个声子；$- \hbar \omega$: 中子发射一个声子）

2. 准动量守恒关系

入射中子的动量 $\vec{p}$，出射中子的动量 $\vec{p}'$。晶体格波的准动量为 $\hbar \vec{q}$，$\hbar \vec{G}_n$ 为倒格子矢量。

$$\vec{p} - \vec{p}' = \pm \hbar \vec{q} \pm \hbar \vec{G}_n$$

（$\pm \hbar \vec{q}$: 声子的准动量；$\pm \hbar \vec{G}_n$: 晶体作为整体的反冲动量，其准动量是量子化的）

习题二：爱因斯坦热容的低温和高温极限

问题

请基于爱因斯坦模型的单振动模热容贡献公式 $C_{V_j} = k_B \left(\frac{\hbar \omega_0}{k_B T}\right)^2 \frac{e^{\hbar \omega_0/k_B T}}{(e^{\hbar \omega_0/k_B T} - 1)^2}$，推导晶体总热容 $C_V$ 在高温极限 ($T \gg \Theta_E$) 和低温极限 ($T \ll \Theta_E$) 下的表达式，并讨论其与实验的符合情况。

知识点

爱因斯坦模型；高温极限 (杜隆-珀替定律)；低温极限 (指数下降)。

思路

1. 将 $x = \frac{\hbar \omega_0}{k_B T} = \frac{\Theta_E}{T}$ 代入总热容公式 $C_V = 3 N C_{V_j}$。
2. 对高温极限 ($x \ll 1$) 使用泰勒展开 $e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2} x^2$。
3. 对低温极限 ($x \gg 1$) 使用 $e^x \gg 1$ 的近似。

解答

爱因斯坦模型晶体总热容 $C_V$：

$$C_V = 3 N k_B \left(\frac{\hbar \omega_0}{k_B T}\right)^2 \frac{e^{\hbar \omega_0/k_B T}}{(e^{\hbar \omega_0/k_B T} - 1)^2}$$

设 $x = \frac{\hbar \omega_0}{k_B T} = \frac{\Theta_E}{T}$，则：

$$C_V = 3 N k_B \left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2 \frac{e^{\Theta_E/T}}{(e^{\Theta_E/T} - 1)^2}$$

1. 高温极限 ($T \gg \Theta_E$):

此时 $x = \frac{\Theta_E}{T} \ll 1$。利用近似 $e^x \approx 1 + x$ 和 $(e^x - 1)^2 \approx x^2$：

$$C_V \approx 3 N k_B \left(x\right)^2 \frac{1 + x}{(1 + x - 1)^2} = 3 N k_B \left(x\right)^2 \frac{1 + x}{x^2}$$

由于 $x \ll 1$，进一步近似 $1+x \approx 1$:

$$C_V \approx 3 N k_B$$

结论: 在高温极限下，爱因斯坦模型预测 $C_V \approx 3 N k_B$，符合杜隆-珀替定律。

2. 低温极限 ($T \ll \Theta_E$):

此时 $x = \frac{\Theta_E}{T} \gg 1$。利用近似 $e^x \gg 1$：

$$(e^x - 1)^2 \approx (e^x)^2 = e^{2x}$$

$$C_V \approx 3 N k_B (x)^2 \frac{e^x}{e^{2x}} = 3 N k_B x^2 e^{-x}$$

代回 $x$:

$$C_V \approx 3 N k_B \left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2 e^{-\Theta_E/T}$$

结论: 在低温极限下，爱因斯坦模型预测 $C_V$ 按温度的指数形式降低。这比经典理论的 $C_V = 3 N k_B$ 好得多（$C_V \to 0$），但与实验测得的 $C_V \propto T^3$ 规律不符。

习题三：德拜模型模式密度推导

问题

在德拜近似下，晶体的声学支模式密度 $g(\omega) \propto \omega^2$。请从三维模式密度的一般表达式出发，推导该模式密度函数，并说明其与德拜截止频率 $\omega_m$ 的关系。

知识点

德拜近似；模式密度 $g(\omega)$ 的一般表达式；线性色散关系 $\omega=c q$；德拜截止频率 $\omega_m$。

思路

1. 使用三维模式密度一般公式，并考虑三个声学支的贡献。
2. 德拜近似采用线性色散关系 $\omega = \bar{C} q$，计算等频率面面积 $d s$ 和梯度 $|\nabla_q \omega(\vec{q})|$。
3. 将三个分支合并，得到总模式密度 $g(\omega)$。
4. 利用总模式数目 $3N$ 确定 $\omega_m$。

解答

1. 模式密度的一般表达式（三维）

对于包含 $s$ 个分支的格波，模式密度为：

$$g(\omega) = \sum_{s} g_s(\omega) = \sum_{s} \frac{V}{(2\pi)^3} \int_{\omega_s(\vec{q})=\omega} \frac{d s}{|\nabla_q \omega_s(\vec{q})|}$$

2. 德拜近似与参数计算

德拜模型采用线性色散关系 $\omega = c_s q$，其中 $c_s$ 为声速。

• 波矢 $q$: $q = \frac{\omega}{c_s}$
• 等频率面面积 $d s$: $d s = 4\pi q^2 = 4\pi \left(\frac{\omega}{c_s}\right)^2$
• 梯度 $|\nabla_q \omega_s(\vec{q})|$: $|\nabla_q \omega_s(\vec{q})| = \left|\frac{\partial \omega}{\partial q}\right| = c_s$

3. 总模式密度 $g(\omega)$ 的推导

代入 $g(\omega)$ 公式，并考虑一个纵波 $c_L$ 和两个横波 $c_T$：

$$g(\omega) = \frac{V}{(2\pi)^3} \left[\frac{4\pi (\omega/c_L)^2}{c_L} + \frac{2 \cdot 4\pi (\omega/c_T)^2}{c_T}\right]$$

$$g(\omega) = \frac{V}{2\pi^2} \left[\frac{\omega^2}{c_L^3} + \frac{2 \omega^2}{c_T^3}\right]$$

$$g(\omega) = \frac{V \omega^2}{2\pi^2} \left(\frac{1}{c_L^3} + \frac{2}{c_T^3}\right)$$

引入平均声速 $\bar{C}$ 的定义 $\frac{3}{\bar{C}^3} = \left(\frac{1}{c_L^3} + \frac{2}{c_T^3}\right)$:

$$g(\omega) = \frac{V \omega^2}{2\pi^2} \frac{3}{\bar{C}^3}$$

$$g(\omega) = \frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} \omega^2$$

4. 与德拜截止频率 $\omega_m$ 的关系

德拜模型要求总振动模数目为 $3N$，通过对 $g(\omega)$ 从 $0$ 积分到 $\omega_m$ 来确定 $\omega_m$:

$$\int_0^{\omega_m} g(\omega) d\omega = 3 N$$

$$\frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} \int_0^{\omega_m} \omega^2 d\omega = 3 N$$

$$\frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} \frac{\omega_m^3}{3} = 3 N$$

$$\omega_m^3 = \frac{6 \pi^2 \bar{C}^3 N}{V} \quad \Rightarrow \quad \frac{3V}{2\pi^2 \bar{C}^3} = \frac{9 N}{\omega_m^3}$$

因此，德拜模式密度与 $\omega_m$ 的最终关系式为：

$$g(\omega) = \frac{9 N}{\omega_m^3} \omega^2$$

习题四：德拜 $T^3$ 定律推导

问题

请利用德拜模型下的热容函数（积分形式），推导在极低温极限 ($T \ll \Theta_D$) 下的晶体热容表达式，即德拜 $T^3$ 定律。

知识点

德拜热容函数；低温极限；德拜 $T^3$ 定律。

思路

1. 写出德拜热容的积分形式，并引入 $\xi = \frac{\hbar \omega}{k_B T}$。
2. 在 $T \ll \Theta_D$ 极限下，积分上限 $\Theta_D/T \to \infty$。
3. 利用定积分结果 $\int_0^\infty \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi = \frac{4\pi^4}{15}$。

解答

1. 德拜热容函数

晶体定容热容 $C_V$ 在德拜模型下的表达式为（其中 $\xi = \frac{\hbar \omega}{k_B T}$）：

$$C_V = 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi$$

2. 低温极限

在极低温极限下，$T \ll \Theta_D$，故积分上限 $\frac{\Theta_D}{T}$ 趋于无穷：

$$\frac{\Theta_D}{T} \to \infty$$

$$C_V \approx 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\infty} \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi$$

3. 定积分代入

利用已知的定积分结果：

$$\int_0^{\infty} \frac{\xi^4 e^\xi}{(e^\xi - 1)^2} d\xi = \frac{4\pi^4}{15}$$

代入 $C_V$ 表达式：

$$C_V = 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \frac{4\pi^4}{15}$$

4. 最终结果（德拜 $T^3$ 定律）

$$C_V = \frac{12\pi^4}{5} R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3$$

结论: 在极低温下，晶体的热容与温度的三次方成正比，即 $C_V \propto T^3$。这与实验结果高度吻合，尤其适用于描述绝缘体和半导体的低温热容。

课后习题

当然，伙伴。我们继续来严谨地解答这组涵盖了晶格振动量子化和热容模型的课后习题。

习题六

【问题】

名词解释：声子。

【解答】

声子 (Phonon) 是对晶格振动能量进行量子化后得到的能量子，它是一个准粒子 (Quasiparticle)，用于描述晶格中原子的集体激发状态。

其核心物理内涵包括：

1. 能量量子化: 声子是晶格简正振动模式的能量量子，其能量为 $E = \hbar\omega$，其中 $\hbar$ 是约化普朗克常数，$\omega$ 是该振动模式的角频率。
2. 准动量: 声子具有准动量 $\boldsymbol{p} = \hbar\boldsymbol{q}$，其中 $\boldsymbol{q}$ 是格波的波矢。它在晶格中的碰撞过程遵循准动量守恒定律。
3. 准粒子性质: 声子不是一个真实、稳定的基本粒子，而是晶格集体运动的一种激发元。它只能存在于晶体内部，无法脱离晶格而独立存在。
4. 统计规律: 声子是玻色子，不遵循泡利不相容原理，因此在同一状态上可以有任意多个声子。它服从玻色-爱因斯坦统计。

通俗地讲，声子可以被看作是“声音”或更广义的晶格振动的量子，就像光子是电磁波的量子一样。

习题七

【问题】

当声子与其他粒子发生碰撞时，遵守___守恒和___守恒。

【解答】

当声子与其他粒子（如电子、光子、中子或其他声子）发生碰撞时，遵守 能量 守恒和 准动量 守恒。

• 能量守恒: 碰撞前后，系统的总能量保持不变。

• 准动量守恒: 碰撞前后，系统的总准动量保持守恒，但这个守恒是在相差一个倒格子矢量 $\boldsymbol{G}$ 的意义下成立的。即：

  $$ \sum \hbar\boldsymbol{q}_i = \sum \hbar\boldsymbol{q}_f + \hbar\boldsymbol{G} $$

  • 当 $\boldsymbol{G}=0$ 时，称为正常过程 (N-process)，准动量完全守恒。
  • 当 $\boldsymbol{G}\neq0$ 时，称为乌姆克拉普过程 (U-process) 或倒逆过程，部分准动量传递给了整个晶格。

习题八

【问题】

晶体中的非典型简谐效应是___。

【解答】

晶体中的非典型简谐效应是 非简谐效应 (Anharmonic effects)。

解释: 简谐近似模型是晶格振动理论的基础，它假设原子间的回复力与位移成正比。然而，真实的晶体势能曲线并非完美的抛物线，当原子振动幅度较大（如在高温下）时，势能中的三阶、四阶等高次项变得不可忽略，这些由高次项引起的效应统称为非简谐效应。它们是许多重要物理现象的根源，例如：

1. 热膨胀: 只有非简谐效应才能解释晶体受热时体积会膨胀。
2. 有限的热导率: 在纯简谐晶体中，声子之间不会碰撞，热导率应为无穷大。非简谐效应提供了声子-声子散射的机制，这是产生热阻、使热导率有限的根本原因。

习题九

【问题】

利用德拜模型，晶体的热容在低温时随温度是按___变化的。

【解答】

利用德拜模型，晶体的热容在低温时随温度是按 $T^3$ (温度的三次方) 变化的。

解释: 这就是著名的德拜 $T^3$ 定律。它指出，在远低于德拜温度（$T \ll \Theta_D$）的低温极限下，晶格热容 $C_V$ 与绝对温度 $T$ 的三次方成正比。这个定律的成功在于德拜模型正确地处理了低频声学声子的贡献，这些声子在低温下是热能的主要载体。

习题十

【问题】

在___模型中，假设晶体中所有的原子都以___振动，而在___模型中，则以连续介质的___来代表格波以求出 $g(\omega)$ 的表达式。

【解答】

在 爱因斯坦 模型中，假设晶体中所有的原子都以 同一个频率 振动，而在 德拜 模型中，则以连续介质的 弹性波 来代表格波以求出 $g(\omega)$ 的表达式。

习题十一

【问题】

考虑一双原子的晶格振动，链上最近邻原子间的力常量交替等于 $c$ 和 $10c$。令两种原子质量相同，且最近邻间距为 $a/2$。求在 $k=0$ 和 $k=\frac{\pi}{a}$ 处的 $\omega \left ( k \right )$，并粗略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，例如 $H_2$。

【解答】

该模型中，虽然原子质量相同，但由于力常量的交替变化，使得相邻原子的格点不再等价。因此，我们必须选取一个包含两个原子（和一个强键 $10c$、一个弱键 $c$）的原胞来分析，其原胞长度为 $a$。这在数学上等效于一个双原子链模型。

【思路】

1. 建立运动方程: 分别对原胞中位于 $2n$ 和 $2n+1$ 位置的两个原子建立牛顿第二定律方程。
2. 代入格波解: 设解的形式为 $u_{2n} = A e^{i(\omega t - nka)}$ 和 $u_{2n+1} = B e^{i(\omega t - (n+1/2)ka)}$。
3. 求解 secular determinant: 得到关于 $\omega^2$ 的方程。
4. 计算特定k点的值: 将 $k=0$ 和 $k=\pi/a$ 代入方程求解。
5. 绘制色散曲线: 根据计算出的四个点绘制声学支和光学支的草图。

【解答】

设 $u_{2n}$ 和 $u_{2n+1}$ 分别为原胞中两个原子的位移。

• 原子 $2n$ 的运动方程（左边为弱键 $c$，右边为强键 $10c$）：

  $$ m \ddot{u}_{2n} = c(u_{2n-1} - u_{2n}) + 10c(u_{2n+1} - u_{2n}) $$

• 原子 $2n+1$ 的运动方程（左边为强键 $10c$，右边为弱键 $c$）：

  $$ m \ddot{u}_{2n+1} = 10c(u_{2n} - u_{2n+1}) + c(u_{2n+2} - u_{2n+1}) $$

  代入格波解并消去公因子后，得到关于振幅 $A$ 和 $B$ 的方程组：

  $$ (-m\omega^2 + 11c)A - c(1 + 10e^{ika/2})B = 0 $$

  $$ -c(1 + 10e^{-ika/2})A + (-m\omega^2 + 11c)B = 0 $$

  令系数行列式为零：

  $$ (m\omega^2 - 11c)^2 - c^2(1 + 10e^{ika/2})(1 + 10e^{-ika/2}) = 0 $$

  $$ (m\omega^2 - 11c)^2 = c^2(101 + 20\cos(ka/2)) $$

  $$ m\omega^2 = 11c \pm c\sqrt{101 + 20\cos(ka/2)} $$

  $$ \omega_{\pm}^2(k) = \frac{c}{m}\left[11 \pm \sqrt{101 + 20\cos(ka/2)}\right] $$

计算特定点的频率:

1. 在 $k=0$ 处: $\cos(0) = 1$。

   • 声学支: $\omega_{-}^2(0) = \frac{c}{m}\left[11 - \sqrt{101 + 20}\right] = \frac{c}{m}[11 - \sqrt{121}] = 0 \implies \omega_{-}(0) = 0$
   • 光学支: $\omega_{+}^2(0) = \frac{c}{m}\left[11 + \sqrt{121}\right] = \frac{22c}{m} \implies \omega_{+}(0) = \sqrt{\frac{22c}{m}}$

2. 在 $k=\pi/a$ 处: 这是第一布里渊区的边界。$\cos(\frac{\pi}{a} \cdot \frac{a}{2}) = \cos(\pi/2) = 0$。

   • 声学支 (最高频率): $\omega_{-}^2(\pi/a) = \frac{c}{m}\left[11 - \sqrt{101}\right] \approx \frac{0.95c}{m} \implies \omega_{-}(\pi/a) = \sqrt{\frac{0.95c}{m}}$
   • 光学支 (最低频率): $\omega_{+}^2(\pi/a) = \frac{c}{m}\left[11 + \sqrt{101}\right] \approx \frac{21.05c}{m} \implies \omega_{+}(\pi/a) = \sqrt{\frac{21.05c}{m}}$

色散关系草图:

• 横坐标为 $k$，范围从 $0$ 到 $\pi/a$。
• 纵坐标为 $\omega$。
• 声学支: 从原点 $(0,0)$ 开始，曲线向上弯曲，终止于点 $(\pi/a, \sqrt{0.95c/m})$。
• 光学支: 从点 $(0, \sqrt{22c/m})$ 开始，曲线向下弯曲，终止于点 $(\pi/a, \sqrt{21.05c/m})$。
• 在声学支的最高点和光学支的最低点之间存在一个明显的频率禁带。