X射线的本质：能量-波长转换关系

这是所有定量计算的基石，是你进行任何能量与波长换算的必备工具。它源于普朗克-爱因斯坦关系和电磁波速度公式的结合。

单个光子的能量与其频率成正比：

$$ E = h\nu $$

电磁波的波长与频率关系为：

$$ c = \lambda\nu $$

将第二个式子改写为 $\nu = c/\lambda$ 并代入第一个式子，得到连接能量与波长的核心关系式：

$$ E = \frac{hc}{\lambda} $$

重点考察应用：这个公式是双向的。知道波长可以计算能量，反之亦然。在计算激发条件、吸收限能量时，它将反复出现。

连续X射线谱 (轫致辐射)

这是由高速电子在靶材原子核电场中“刹车”减速而产生的辐射，其关键在于理解其谱图特征如何受外部条件控制。

核心定律：杜安-亨特特定律 (Duane-Hunt Law)

连续谱存在一个绝对的短波极限 $\lambda_{swl}$ (Short Wavelength Limit)，它对应于一个电子将其携带的全部动能一次性转化为一个X射线光子的情况。

电子从静止被电压 $V$ 加速后获得的最大动能为：

$$ E_{k,max} = eV $$

当此能量全部转化为一个光子时，该光子的能量为 $E_{photon,max}$：

$$ E_{photon,max} = E_{k,max} = eV $$

利用能量-波长转换关系，我们可以得到该最大能量光子对应的最短波长：

$$ E_{photon,max} = \frac{hc}{\lambda_{swl}} $$

联立以上两式，得到杜安-亨特特定律的公式：

$$ \lambda_{swl} = \frac{hc}{eV} $$

重点考察知识点：最短波长 $\lambda_{swl}$ 只与管电压 V 有关，与管电流 i 和靶材原子序数 Z 无关。这是判断光谱图变化原因的核心依据。此外，强度最大的波长 $\lambda_{Imax}$ 约等于 $1.5 \lambda_{swl}$。

特征X射线谱

这是元素定性分析的物理基础，其产生机制是原子能级的量子化跃迁。

核心定律：莫塞莱定律 (Moseley's Law)

莫塞莱发现，元素的特征X射线频率 $\nu$ 的平方根与该元素的原子序数 Z 之间存在精确的线性关系。

对于K系射线：

$$ \sqrt{\nu} = K(Z - \sigma) $$

其中 $K$ 是一个常数，$\sigma$ 是屏蔽常数。对于K系，只有一个K层电子被击出，剩下的一个K层电子会对原子核电荷产生屏蔽效应，因此 $\sigma \approx 1$。

重点考察形式：波长形式

在实验中我们更多地测量波长，因此需要将公式转换为波长形式。利用 $\nu = c/\lambda$：

$$ \sqrt{\frac{c}{\lambda}} = K(Z - \sigma) $$

两边平方后整理可得波长的倒数形式：

$$ \frac{1}{\lambda} = K_2 (Z-\sigma)^2 $$

这个线性关系在 $\sqrt{1/\lambda}$ 对 Z 的图像上表现为一条直线，是莫塞莱定律正确性的有力证明，也是原子物理学发展的重要里程碑。

X射线与物质的相互作用：吸收与散射

光电吸收与荧光激发条件

当入射X射线光子能量 $E_{photon}$ 大于或等于原子内层电子的结合能 $E_{binding}$ (也称为吸收限能量 $E_{edge}$) 时，光子被原子完全吸收，并将该内层电子击出。

激发条件：

$$ E_{photon} \ge E_{edge} $$

如果激发源是X射线管，那么管内电子的最大动能必须大于这个吸收限能量，才能产生足以激发荧光的X射线。

所需最低管电压 $V_{min}$ 满足：

$$ eV_{min} = E_{edge} $$

由此可得计算最低激发电压的公式：

$$ V_{min} = \frac{E_{edge}}{e} $$

重点考察应用：一旦某元素的内层电子被激发，它退激时会发射出属于该元素自身的特征X射线（荧光辐射），其波长由该元素的能级结构决定，与入射X射线的波长无关。

相干散射 (瑞利散射) 与布拉格定律

这是X射线衍射（XRD）的物理核心。当X射线与被原子核紧密束缚的电子作用时，发生弹性散射，能量和波长不变，最重要的是相位关系确定。

核心推导：布拉格定律 (Bragg's Law)

考虑两束平行的单色X射线，以掠射角 $\theta$ 入射到一组间距为 $d$ 的晶面上。第一束在表层晶面反射，第二束穿透到下一层晶面再反射。为使两束反射波发生相长干涉（衍射），它们的光程差必须是波长的整数倍。

由几何关系可知，第二束波比第一束波多走的光程 $\Delta$ 为：

$$ \Delta = AB + BC $$

在直角三角形 OAB 和 OCB 中：

$$ AB = OB \sin\theta = d \sin\theta $$

$$ BC = OB \sin\theta = d \sin\theta $$

因此，总光程差为：

$$ \Delta = 2d\sin\theta $$

相长干涉条件为 $\Delta = n\lambda$，其中 $n$ 为正整数（衍射级数）。
联立得到布拉格定律：

$$ n\lambda = 2d\sin\theta $$

重点考察知识点：此公式是连接宏观衍射角 $\theta$ 与微观晶面间距 $d$ 的桥梁，是所有XRD分析的基础。

非相干散射 (康普顿散射)

这是XRD图谱中背景噪声的主要来源。它发生在X射线光子与原子中束缚松散的外层电子的“台球式”碰撞。

核心公式：康普顿散射公式

在此非弹性碰撞中，光子将一部分能量转移给电子，导致自身能量减小，波长变长。波长的增量 $\Delta\lambda$ 只与散射方向 $\phi$ 有关。

$$ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1-\cos\phi) $$

其中 $\lambda'$ 是散射后波长，$\phi$ 是散射角，$m_e$ 是电子的静止质量。
重点考察概念：

1. 由于 $(1-\cos\phi) \ge 0$，所以 $\lambda'$ 总是大于或等于 $\lambda$，散射光子的能量总是减小的。
2. $\frac{h}{m_e c}$ 是一个物理常数，称为电子的康普顿波长，其值约为 0.0243 Å。这意味着波长的增量很小，但在精密测量中必须考虑。
3. 由于相位随机，它不能产生干涉，只会形成平滑的背景强度。

综合应用：滤波片的选择原则

这是综合运用特征谱和吸收限知识解决实际问题的典范。

核心原理：选择一种滤波材料，使其K吸收限波长 $\lambda_{K(filter)}$ 恰好落在靶材的 $K_\beta$ 和 $K_\alpha$ 波长之间。

$$ \lambda_{K\beta(target)} < \lambda_{K(filter)} < \lambda_{K\alpha(target)} $$

这样，能量较高的 $K_\beta$ 射线会被强烈吸收（光电效应），而能量较低的 $K_\alpha$ 射线则能大部分通过。

重点考察经验法则

• 当 Z靶 < 40 时，选择 Z滤 = Z靶 - 1
• 当 Z靶 ≥ 40 时，选择 Z滤 = Z靶 - 2