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半导体器件物理习题增补分析详解
补漏一：第一章 / 能带与有效质量【题型18】回旋共振与有效质量计算题目：在进行硅的微波回旋共振实验时，加在某个特定方向上的恒定磁场 $B = 0.1\text{ T}$。已知此时测得的电子有效质量 $m_c^* = 0.26 m_0$（$m_0 = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}$）。① 求此方向上发生回旋共振时的微波频率 $f_c$；② 若要探测到该共振，对半导体样品的平均自由时间 $\tau$ 有什么要求？解题过程：① 求回旋共振频率：回旋共振角频率 $\omega_c = \frac{qB}{m_c^*}$，且 $\omega_c = 2\pi f_c$。代入国际单位制（SI）：$$f_c = \frac{qB}{2\pi m_c^*} = \frac{1.602\times 10^{-19} \times 0.1}{2\times 3.1416 \times 0.26 \times 9.1 \times 10^{-31}}$$$$f_c = \frac{1.602 \times 10^{-20}}{1.486 \times 10^{-30}} \approx 1.078 \times 10^{10}\text{ Hz} = 10.78\text{ GHz}$$（此频率位于微波波段）② 观测条件：为了能观测到明显的共振吸收峰，电子在发生碰撞散射前，至少必须能完成几次完整的回旋运动。数学条件为：$\omega_c \tau \ge 1$ 或至少 $\omega_c \tau > 1$。因此要求：$\tau \ge \frac{1}{\omega_c} = \frac{1}{2\pi f_c} = \frac{1}{6.77 \times 10^{10}} \approx 1.48 \times 10^{-11}\text{ s}$。（这就要求实验必须在极低温下进行，以减弱声子散射，增大 $\tau$）。✎ 批注：这是第一章唯一能出计算大题的地方。注意全部换算为国际单位（SI）（磁场用 T，质量用 kg，电荷量用 C），算出来的频率 $f$ 单位是 Hz。常见错误是把角频率 $\omega_c$ 当成了频率 $f_c$，漏除了 $2\pi$。补漏二：第二章 / 杂质能级【题型19】类氢模型：杂质电离能与轨道半径估算题目：利用类氢原子模型，估算室温下 Si 中浅能级施主杂质（如磷 P）的电离能 $\Delta E_D$ 和基态电子的玻尔半径 $r$。已知 Si 的相对介电常数 $\varepsilon_r = 11.9$，电导有效质量 $m_n^* \approx 0.26 m_0$。与本征带隙 $E_g = 1.12\text{ eV}$ 比较，说明为何室温下杂质极易电离。解题过程：① 估算电离能：类氢模型中，杂质电离能相对于氢原子基态能量（13.6 eV）的修正公式为：$$\Delta E_D = 13.6 \times \frac{m_n^*/m_0}{\varepsilon_r^2}\text{ (eV)}$$$$\Delta E_D = 13.6 \times \frac{0.26}{(11.9)^2} = 13.6 \times \frac{0.26}{141.61} = 0.0249\text{ eV} \approx 25\text{ meV}$$② 估算玻尔半径：氢原子的基态半径为 $a_0 = 0.53$ Å。修正公式为：$$r = a_0 \times \frac{\varepsilon_r}{m_n^*/m_0} = 0.53 \times \frac{11.9}{0.26} \approx 24.2 \text{ Å} = 2.42\text{ nm}$$③ 比较与说明：室温热激发能 $k_0T \approx 0.026\text{ eV}$。算出的 $\Delta E_D \approx 0.025\text{ eV}$。因为 $\Delta E_D \le k_0T$，且远小于本征禁带宽度（$1.12\text{ eV}$），所以在室温下热涨落提供的能量已足以使绝大部分施主电子激发到导带，即发生充分电离。✎ 批注：这个公式不需要死记硬背复杂的 $\hbar, \varepsilon_0$ 的原版表达式，只要记住相对于氢原子的两个比例因子：能量正比于质量、反比于介电常数平方；半径反比于质量、正比于介电常数。补漏三：第三章 / 载流子分布【题型20】本征费米能级 $E_i$ 对禁带中线的偏移量题目：证明半导体的本征费米能级 $E_i$ 并不精确位于禁带中线。求 300K 时硅的 $E_i$ 偏离禁带中线多少电子伏特？已知 Si 的状态密度有效质量 $m_{dn} = 1.08 m_0$，$m_{dp} = 0.50 m_0$。解题过程：① 公式推导：本征半导体中 $n = p$，即：$$N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_i}{k_0T}\right) = N_v \exp\left(-\frac{E_i - E_v}{k_0T}\right)$$两边取对数并整理出 $E_i$：$$2E_i = E_c + E_v + k_0T \ln\left(\frac{N_v}{N_c}\right)$$$$E_i = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{k_0T}{2} \ln\left[\left(\frac{m_{dp}}{m_{dn}}\right)^{3/2}\right] = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3}{4} k_0T \ln\left(\frac{m_{dp}}{m_{dn}}\right)$$禁带中线记为 $E_{mid} = \frac{E_c + E_v}{2}$。② 代入硅的数据：$$\Delta E = E_i - E_{mid} = \frac{3}{4} \times 0.026 \times \ln\left(\frac{0.50}{1.08}\right)$$$$\Delta E = 0.0195 \times \ln(0.463) = 0.0195 \times (-0.770) \approx -0.015\text{ eV}$$结论：Si 的本征费米能级位于禁带中线下方 0.015 eV 处。由于偏移量很小，平时多作近似认为 $E_i \approx E_{mid}$。✎ 批注：由于导带和价带的态密度（也就是有效质量）不对称，为了使得导带电子数等于价带空穴数，费米能级必须向态密度较小（有效质量较小）的那个带“靠近”。硅的空穴质量轻，所以 $E_i$ 向下靠近价带。这属于常考的客观题结论与小计算。补漏四：第四章 / 导电性（重中之重！）【题型21】霍尔效应实战计算题目：一长方形半导体样品，厚度 $d = 1\text{ mm}$，宽度 $W = 2\text{ mm}$，置于 $B = 0.1\text{ T}$ 的磁场中。沿长度方向通入工作电流 $I = 1\text{ mA}$ 时，测得横向霍尔电压 $V_H = 1.6\text{ mV}$。测得该样品的电导率 $\sigma = 2.0\text{ S/cm}$。（假设霍尔散射因子 $r \approx 1$）求：① 该样品的导电类型；② 霍尔系数 $R_H$；③ 多子载流子浓度和霍尔迁移率。解题过程：① 导电类型：霍尔电压为正（按照右手螺旋惯例，若题目明确极性为正），表明载流子带正电，即该材料为 p型半导体。② 霍尔系数 $R_H$ 计算：霍尔电压公式：$V_H = R_H \frac{IB}{d}$，变形得：$R_H = \frac{V_H d}{IB}$。这里统一使用国际单位制计算：$V_H = 1.6 \times 10^{-3}\text{ V}$，$d = 10^{-3}\text{ m}$，$I = 10^{-3}\text{ A}$，$B = 0.1\text{ T}$$$R_H = \frac{(1.6 \times 10^{-3}) \times 10^{-3}}{10^{-3} \times 0.1} = \frac{1.6 \times 10^{-6}}{10^{-4}} = 0.016\text{ m}^3/\text{C}$$换算为常用单位：$1\text{ m}^3 = 10^6\text{ cm}^3$，故 $R_H = 1.6 \times 10^4\text{ cm}^3/\text{C}$。③ 载流子浓度与迁移率：对于 p型，$R_H = \frac{1}{qp_0}$：$$p_0 = \frac{1}{q R_H} = \frac{1}{1.602 \times 10^{-19} \times 1.6 \times 10^4} = \frac{1}{2.563 \times 10^{-15}} \approx 3.9 \times 10^{14}\text{ cm}^{-3}$$霍尔迁移率公式：$μ_H = R_H \cdot \sigma$ （注意此时 $R_H$ 用 $\text{cm}^3/\text{C}$，$\sigma$ 用 $\text{S/cm}$）$$μ_H = 1.6 \times 10^4 \times 2.0 = 3.2 \times 10^4\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$✎ 批注：这是半导体物理实验和理论必考的综合题。绝对容易错的地方是单位换算！ 建议在算 $R_H$ 时用全套国际单位，算出 $\text{m}^3/\text{C}$，然后再乘 $10^6$ 变成 $\text{cm}^3/\text{C}$，之后再求浓度 $p_0$。一定要背熟公式 $μ_H = |R_H| \sigma$。【题型22】多重散射机制与 Matthiessen 定则题目：某 N型半导体在 300K 时，仅考虑声学声子散射的迁移率为 $μ_L = 1400\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$，仅考虑电离杂质散射的迁移率为 $μ_I = 2000\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$。① 求 300K 时的实际总迁移率；② 假设不考虑杂质浓度随温度变化，当温度上升至 400K 时，新的总迁移率大约是多少？（已知 $μ_L \propto T^{-3/2}$，$μ_I \propto T^{3/2}$）解题过程：① 300K 时总迁移率：根据 Matthiessen 规则，总迁移率倒数等于各散射机制迁移率倒数之和：$$\frac{1}{μ_{total}} = \frac{1}{μ_L} + \frac{1}{μ_I} = \frac{1}{1400} + \frac{1}{2000} = \frac{10}{14000} + \frac{7}{14000} = \frac{17}{14000}$$$$μ_{total} = \frac{14000}{17} \approx 823.5\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$② 400K 时的温度折算：由温度依赖关系：声子散射：$μ_L(400\text{K}) = 1400 \times \left(\frac{300}{400}\right)^{3/2} = 1400 \times (0.75)^{1.5} \approx 1400 \times 0.6495 \approx 909\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$杂质散射：$μ_I(400\text{K}) = 2000 \times \left(\frac{400}{300}\right)^{3/2} = 2000 \times (1.333)^{1.5} \approx 2000 \times 1.539 \approx 3079\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$新的总迁移率：$$\frac{1}{μ'_{total}} = \frac{1}{909} + \frac{1}{3079}$$$$μ'_{total} = \frac{909 \times 3079}{909 + 3079} = \frac{2798811}{3988} \approx 701.8\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$✎ 批注：注意两种机制对温度的依赖完全相反：高温下声子散射加剧，低温下杂质散射加剧。并联倒数求和法一定要牢记，算出结果必须比两者中最小的还要小（823 < 1400）。补漏五：第四/五章交叉区【题型23】由杂质梯度分布引发的自建电场（漂移扩散平衡）题目：设一处于热平衡状态的 N 型硅样品，施主杂质在 x 方向上呈指数分布：$N_D(x) = N_0 \exp(-x/L)$，其中常数 $L = 2\text{ μ m}$。设处于室温且杂质全电离，求材料内部产生的内建电场 $E$ 的大小和方向。解题过程：热平衡时，无净电流产生，即电子的漂移电流和扩散电流精确抵消：$$J_n = q n μ_n E + q D_n \frac{dn}{dx} = 0$$移项并利用爱因斯坦关系式（$\frac{D_n}{μ_n} = \frac{k_0T}{q}$）：$$q n μ_n E = - q D_n \frac{dn}{dx}$$$$E = - \frac{D_n}{μ_n} \frac{1}{n} \frac{dn}{dx} = - \frac{k_0T}{q} \frac{1}{n} \frac{dn}{dx}$$在多子区，$n(x) \approx N_D(x) = N_0 \exp(-x/L)$。对其求导：$$\frac{dn}{dx} = -\frac{N_0}{L} \exp(-x/L) = -\frac{n}{L}$$代入电场公式：$$E = - \frac{k_0T}{q} \frac{1}{n} \left(-\frac{n}{L}\right) = \frac{k_0T}{q L}$$代入数值（室温 $k_0T/q = 0.026\text{ V}$，$L = 2 \times 10^{-4}\text{ cm}$）：$$E = \frac{0.026}{2 \times 10^{-4}} = \frac{0.026}{0.0002} = 130\text{ V/cm}$$方向：电场符号为正，表示方向沿 x 轴正方向。（物理图像：电子沿 x 正方向浓度降低，向右扩散，导致左侧留下正电荷施主离子，从而形成向右的电场阻碍扩散）。✎ 批注：这类题极其经典，它巧妙地把第四章的漂移、第五章的扩散和爱因斯坦关系融合在一起。结论 $E = \frac{k_0T}{q} \frac{d(\ln n)}{dx}$ 在器件物理推导中无处不在，遇到“非均匀掺杂+热平衡”直接用这个公式！补漏六：第五章 / 非平衡载流子【题型24】瞬态非平衡载流子的衰减与光电导弛豫题目：有一掺杂 $N_D = 10^{15}\text{ cm}^{-3}$ 的 n 型 Si 样品（$μ_n = 1350, μ_p = 500\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$）。在一瞬间 ($t=0$) 受到一短促强光脉冲照射，产生了非平衡载流子 $\Delta n(0) = \Delta p(0) = 10^{14}\text{ cm}^{-3}$，照射随即停止。已知少子寿命 $\tau_p = 10\text{ μ s}$。① 计算光照停止 $10\text{ μ s}$ 后的过剩载流子浓度；② 计算 $t = 10\text{ μ s}$ 时样品的总电导率。解题过程：① 瞬态衰减：停止光照后，非平衡载流子按指数规律复合衰减：$$\Delta p(t) = \Delta p(0) \exp\left(-\frac{t}{\tau_p}\right)$$当 $t = 10\text{ μ s} = \tau_p$ 时：$$\Delta p(10\text{ μ s}) = 10^{14} \times \exp\left(-\frac{10}{10}\right) = 10^{14} \times e^{-1} \approx 10^{14} \times 0.3678 = 3.678 \times 10^{13}\text{ cm}^{-3}$$根据电中性条件，此时 $\Delta n = \Delta p = 3.678 \times 10^{13}\text{ cm}^{-3}$。② 求总电导率：暗电导率（平衡态下的本底电导率）：$$\sigma_0 \approx q N_D μ_n = 1.602 \times 10^{-19} \times 10^{15} \times 1350 = 0.216\text{ S/cm}$$（由于是强 n型，平衡态的少子 $p_0$ 贡献忽略不计）。此时光生附加电导率 $\Delta \sigma$：$$\Delta \sigma = q \Delta p (μ_n + μ_p) = 1.602 \times 10^{-19} \times 3.678 \times 10^{13} \times (1350 + 500)$$$$\Delta \sigma = 1.602 \times 10^{-19} \times 3.678 \times 10^{13} \times 1850 \approx 0.0109\text{ S/cm}$$总电导率：$$\sigma(t) = \sigma_0 + \Delta \sigma(t) = 0.216 + 0.0109 = 0.2269\text{ S/cm}$$✎ 批注：区别于你已有讲义里的“稳态强光照射（$\Delta p = g\tau$）”，这是典型的“瞬态脉冲光照（$\Delta p(t) = \Delta p_0 e^{-t/\tau}$）”。计算电导率时，总电导率等于暗电导率叠加附加光电导。另外注意在任何时候 $\Delta n$ 都等于 $\Delta p$。补漏七：第一章 / 基于 E(k) 关系的微积分求导思维【题型25】由能带 $E(k)$ 表达式求有效质量与群速度题目：假设某半导体的导带一维色散关系可以用余弦函数近似表示为：$$E(k) = E_c - 2A \cos(ka)$$其中，$a$ 为晶格常数，$A > 0$ 为能量参数。① 求导带底处的电子有效质量 $m_n^*$；② 求电子在该能带中的最大群速度 $v_{max}$ 以及对应发生的波矢 $k$ 位置。解题过程：① 求有效质量 $m_n^*$：导带底发生于能量极小值处，由表达式可知，当 $\cos(ka) = 1$ 即 $k=0$ 时，$E(k)$ 取最小值 $E_c - 2A$，此即导带底。电子有效质量的定义为：$\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}$。对 $E(k)$ 求一阶导数：$$\frac{dE}{dk} = 2Aa \sin(ka)$$对 $E(k)$ 求二阶导数：$$\frac{d^2E}{dk^2} = 2Aa^2 \cos(ka)$$在导带底（$k=0$）处：$$\frac{d^2E}{dk^2}\bigg|_{k=0} = 2Aa^2$$因此，导带底的有效质量为：$$m_n^* = \frac{\hbar^2}{2Aa^2}$$② 求最大群速度 $v_{max}$：群速度公式为：$v_g = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk} = \frac{2Aa}{\hbar}\sin(ka)$。要求群速度最大，即 $\sin(ka) = 1$（考虑正方向），此时 $ka = \frac{\pi}{2}$，即 $k = \frac{\pi}{2a}$。此时的最大群速度为：$$v_{max} = \frac{2Aa}{\hbar}$$✎ 批注：这是考察第一章核心物理概念的经典“剥洋葱”题型。它不考数值计算，而考查你对公式 $m^* \leftrightarrow d^2E/dk^2$ 和 $v_g \leftrightarrow dE/dk$ 的理解。记住：二阶导数越大（能带越陡峭），有效质量越小；一阶导数最大处（能带最陡的半山腰处），速度最快。补漏八：第三章 / 极限条件下的近似思维【题型26】深低温（冻结区）载流子浓度的精确计算题目：已知 N 型硅掺杂浓度为 $N_D = 10^{16}\text{ cm}^{-3}$，施主电离能 $\Delta E_D = 0.045\text{ eV}$。室温下 $N_c = 2.8 \times 10^{19}\text{ cm}^{-3}$。当温度降至极低（如 $T = 50\text{ K}$）时，求此时导带中的电子浓度 $n_0$。解题过程：① 判断温区并选取公式：低温下热激发能极小，施主杂质大部分未电离（处于冻结区）。此时应使用弱电离条件下的公式（考虑基态自旋简并因子常取2）：$$n_0 = \left(\frac{N_D N_c(T)}{2}\right)^{1/2} \exp\left(-\frac{\Delta E_D}{2k_0T}\right)$$② 重新计算 50K 时的 $N_c(50)$ 与 $k_0T$：状态密度随温度呈 $T^{3/2}$ 变化：$$N_c(50) = N_c(300) \times \left(\frac{50}{300}\right)^{3/2} = 2.8 \times 10^{19} \times \left(\frac{1}{6}\right)^{1.5} \approx 2.8 \times 10^{19} \times 0.068 = 1.9 \times 10^{18}\text{ cm}^{-3}$$计算 50K 的热电压：$$k_0T = 8.617 \times 10^{-5} \times 50 = 0.00431\text{ eV}$$③ 代入公式计算：$$\frac{\Delta E_D}{2k_0T} = \frac{0.045}{2 \times 0.00431} = \frac{0.045}{0.00862} \approx 5.22$$$$\exp(-5.22) \approx 5.4 \times 10^{-3}$$$$\left(\frac{N_D N_c(50)}{2}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{10^{16} \times 1.9 \times 10^{18}}{2}} = \sqrt{9.5 \times 10^{33}} \approx 9.75 \times 10^{16}\text{ cm}^{-3}$$最终得到：$$n_0 = 9.75 \times 10^{16} \times 5.4 \times 10^{-3} \approx 5.26 \times 10^{14}\text{ cm}^{-3}$$✎ 批注：这道题极易踩两个坑：一是直接用室温的 $N_c$ 去算（温度变化时，$N_c$ 必须重新算！）；二是在指数项里把分母的 $2k_0T$ 记成 $k_0T$。在极低温下，$n_0 \propto \exp(-\Delta E_D / 2kT)$ 是因为费米能级处于 $E_c$ 与 $E_D$ 的中间。结果显示，虽然掺杂了 $10^{16}$，但只有大约 5% 的杂质发生电离，这是“冻结”的直观体现。补漏九：第四章 / 几何与工程参数换算思维【题型27】方块电阻（薄层电阻）的计算与运用题目：在一块绝缘衬底上外延生长了一层厚度 $d = 2\text{ μ m}$ 的 N型硅薄膜，平均掺杂浓度 $N_D = 5 \times 10^{16}\text{ cm}^{-3}$。已知该浓度下的电子迁移率 $μ_n = 1000\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$。① 求该薄膜的电导率 $\sigma$ 和方块电阻 $R_{\square}$（也称薄层电阻 $R_s$）。② 若要用该材料光刻制作一个阻值为 $500\text{ k}\Omega$ 的电阻器，已知线宽限制为 $W = 5\text{ μ m}$，电阻的长条形设计长度 $L$ 应为多少？解题过程：① 求电导率 $\sigma$ 与 方块电阻 $R_{\square}$：由于是N型半导体，忽略少数载流子：$$\sigma = q n μ_n = 1.602 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{16} \times 1000 = 8.01\text{ S/cm}$$电阻率 $\rho = 1 / \sigma = 1 / 8.01 \approx 0.125\text{ }\Omega\cdot\text{cm}$。方块电阻定义为 $R_{\square} = \frac{\rho}{d}$，此处需将厚度 $d$ 统一单位为 cm：$d = 2\text{ μ m} = 2 \times 10^{-4}\text{ cm}$$$R_{\square} = \frac{0.125}{2 \times 10^{-4}} = 625\text{ }\Omega/\square$$② 求设计长度 $L$：薄膜电阻的公式为：$R = R_{\square} \frac{L}{W}$ （即方块电阻乘以“方块数”）。已知要求总电阻 $R = 500\text{ k}\Omega = 500,000\text{ }\Omega$。$$500000 = 625 \times \frac{L}{W}$$$$\frac{L}{W} = \frac{500000}{625} = 800$$由于 $W = 5\text{ μ m}$，则：$$L = 800 \times W = 800 \times 5\text{ μ m} = 4000\text{ μ m} = 4\text{ mm}$$✎ 批注：这是半导体器件和微电子工艺极其常见的考法（工程思维）。方块电阻 $R_{\square}$（单位通常写成 $\Omega/\square$）仅仅取决于材料性质($\rho$)和厚度($d$)，它表示任何一个正方形薄膜的电阻。后续只要算长宽比（有多少个正方形串联）就能立刻算出总阻值。注意所有的厚度 $d$ 都要化成 cm 以匹配 $\rho$ 的单位！补漏十：第五章 / 漂移与扩散双轨并行思维【题型28】海恩斯-肖克莱实验模型（脉冲展宽计算）题目：一根长度 $L = 2\text{ cm}$ 的 N 型锗棒，两端施加电压 $V_0 = 10\text{ V}$。在左端（$x=0$）处用激光打入一个极窄的空穴（少子）脉冲，经过时间 $t_d = 100\text{ μ s}$ 后，在右端（$x=2\text{ cm}$）检测到该脉冲的峰值到达。假设爱因斯坦关系成立，求：① 少数载流子（空穴）的漂移迁移率 $μ_p$；② 该脉冲到达终点时，由于扩散作用导致的“扩散特征展宽”（定义为 $\Delta x = \sqrt{4D_pt_d}$）是多少微米？（设温度 $T = 300\text{ K}$）解题过程：① 漂移迁移率计算：棒内均匀电场：$$E = \frac{V_0}{L} = \frac{10}{2} = 5\text{ V/cm}$$空穴在电场下的漂移速度（由脉冲峰值的移动决定）：$$v_d = \frac{L}{t_d} = \frac{2\text{ cm}}{100 \times 10^{-6}\text{ s}} = 20000\text{ cm/s}$$根据 $v_d = μ_p E$ 求迁移率：$$μ_p = \frac{v_d}{E} = \frac{20000}{5} = 4000\text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$② 扩散特征展宽计算：由于电场只导致整体脉冲移动（漂移），不导致形变，脉冲形状的展宽纯粹由扩散决定。利用爱因斯坦关系求扩散系数 $D_p$：$$D_p = μ_p \frac{k_0T}{q} = 4000 \times 0.026 = 104\text{ cm}^2/\text{s}$$将 $t_d$ 视为总的扩散时间，代入展宽公式：$$\Delta x = \sqrt{4 D_p t_d} = \sqrt{4 \times 104 \times 100 \times 10^{-6}} = \sqrt{4.16 \times 10^{-2}} \approx 0.204\text{ cm} = 2040\text{ μ m}$$✎ 批注：非常高级的物理题！这个实验是人类第一次直接同时测出半导体少数载流子迁移率和扩散系数的著名实验。思维核心：把“漂移（中心整体移动）”和“扩散（以中心为对称的向外变胖展宽）”进行拆分处理，两者互不干扰。补漏十一：第五章 / 微分方程与边界条件思维（全书最难数学点）【题型29】含表面复合的稳态非平衡载流子分布题目：一厚度足够大的 N 型半导体，内部受到均匀强光照射，体内的电子空穴对产生率为常数 $G_L$。少子寿命为 $\tau_p$，扩散长度为 $L_p = \sqrt{D_p \tau_p}$。在半导体表面（$x=0$）处，由于晶格缺陷，具有较高的表面复合速度 $S$。求：稳态下（$d\Delta p/dt = 0$）样品内过剩空穴分布 $\Delta p(x)$ 的表达式。解题过程：① 建立微分方程：考虑体内的扩散、复合与光产生，一维稳态连续性方程为：$$D_p \frac{d^2\Delta p}{dx^2} - \frac{\Delta p}{\tau_p} + G_L = 0$$② 求解通解：这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。特解：当 $x \to \infty$（深处受表面影响消失）时，分布应为均匀的 $\Delta p = G_L \tau_p$。对应齐次方程的通解为 $C_1 e^{-x/L_p} + C_2 e^{x/L_p}$。为了保证物理意义上的收敛（深度趋于无穷时浓度不能发散），必须取 $C_2 = 0$。故通解设为：$$\Delta p(x) = G_L \tau_p + C_1 e^{-x/L_p}$$③ 使用表面边界条件定常数：在 $x=0$ 表面，通过向表面扩散运送过去的载流子，被表面复合消耗掉。边界条件为：$$D_p \frac{d\Delta p}{dx}\bigg|_{x=0} = S \Delta p(0)$$（注：表面在 $x=0$，载流子从内部流向表面，所以扩散流方向向左，扩散电流 $J_p = -qD_p d(\Delta p)/dx$；此处流向表面消耗掉的颗粒流大小为 $S\Delta p(0)$，考虑到方向性，边界条件即为上述等式）。对 $\Delta p(x)$ 求导：$$\frac{d\Delta p}{dx} = -\frac{C_1}{L_p} e^{-x/L_p}$$代入 $x=0$：$$D_p \left( -\frac{C_1}{L_p} \right) = S (G_L \tau_p + C_1)$$整理得：$$-C_1 \left( \frac{D_p}{L_p} + S \right) = S G_L \tau_p$$$$C_1 = - \frac{S G_L \tau_p}{\frac{D_p}{L_p} + S}$$④ 写出最终表达式：$$\Delta p(x) = G_L \tau_p \left[ 1 - \frac{S}{S + \frac{D_p}{L_p}} e^{-x/L_p} \right]$$✎ 批注：这就是期末和考研中的“满分阻击题”。其思维难度在于：第一，要正确写出非齐次微分方程并想到通解=稳态特解($G_L\tau_p$)+衰减项($e^{-x/L_p}$)；第二，要理解“扩散项在表面的导数 = 表面复合率”这个极其核心的物理边界条件。注意看最后的公式：如果 $S \to 0$（表面很完美不复合），$\Delta p \equiv G_L\tau_p$（处处均匀）；如果 $S \to \infty$（表面是强复合死区），$\Delta p(0) \to 0$，即表面浓度被“死死钉在零点”。
半导体器件物理常考题型例题详解
半导体器件物理核心知识复习指南
一、核心常数与材料参数速查表1.1 基本物理常数常数符号数值基本电荷$q$$1.602 \times 10^{-19}$ C玻耳兹曼常数$k_0$$1.380 \times 10^{-23}$ J/K = $8.617 \times 10^{-5}$ eV/K室温热电压 (300K)$k_0T/q$$0.026$ eV（常取 $0.025$ eV）普朗克常数$h$$6.626 \times 10^{-34}$ J·s约化普朗克常数$\hbar = h/2\pi$$1.055 \times 10^{-34}$ J·s自由电子质量$m_0$$9.109 \times 10^{-31}$ kg真空介电常数$\varepsilon_0$$8.854 \times 10^{-14}$ F/cm1.2 Si、Ge、GaAs 材料常数（300K）参数SiGeGaAs禁带宽度 $E_g$ (eV)1.120.671.42（课件中取 1.428）本征载流子浓度 $n_i$ (cm⁻³)$1.5 \times 10^{10}$$2.4 \times 10^{13}$$1.1 \times 10^7$电子有效质量 $m_n^*$$0.26 m_0$$0.12 m_0$—空穴有效质量 $m_p^*$———导带态密度有效质量 $m_{dn}$$1.08 m_0$$0.56 m_0$—价带态密度有效质量 $m_{dp}$$0.50 m_0$$0.37 m_0$—导带有效状态密度 $N_c$ (cm⁻³)$2.8 \times 10^{19}$$1.05 \times 10^{19}$—价带有效状态密度 $N_v$ (cm⁻³)$1.1 \times 10^{19}$$5.7 \times 10^{18}$—电子迁移率 $\mu_n$ (cm²/V·s)$1350 \sim 1450$$3600 \sim 3900$—空穴迁移率 $\mu_p$ (cm²/V·s)$480 \sim 500$$1700 \sim 1900$—相对介电常数 $\varepsilon_r$11.91613.1原子密度 (cm⁻³)$5.0 \times 10^{22}$$4.4 \times 10^{22}$—高频考点：$k_0T = 0.026$ eV，$N_c \propto T^{3/2}$，$n_i^2 = n_0 p_0$二、能带与有效质量（回旋共振）2.1 等能面方程导带底附近（以 $k_0$ 为极值点）三维泰勒展开：$$E(\vec{k}) = E(k_0) + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{(k_x - k_{0x})^2}{m_x^*} + \frac{(k_y - k_{0y})^2}{m_y^*} + \frac{(k_z - k_{0z})^2}{m_z^*}\right]$$旋转椭球面（纵向 $m_l$，横向 $m_t$）：$$E(k) = E_c + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{k_1^2 + k_2^2}{m_t} + \frac{k_3^2}{m_l}\right]$$2.2 回旋共振频率球形等能面：$$\omega_c = \frac{qB}{m_n^*} \quad \Rightarrow \quad m_n^* = \frac{qB}{\omega_c}$$椭球形等能面（B方向余弦为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$）：$$\omega_c = \frac{qB}{m_c^*}, \quad \frac{1}{(m_c^*)^2} = \frac{\alpha_1^2\alpha_2^2}{m_t^2 m_l} + \frac{\alpha_2^2\alpha_3^2}{m_t^2 m_l} + \frac{\alpha_1^2\alpha_3^2}{m_t^2 m_l} + \frac{1}{m_t m_l}(\text{组合项})$$计算流程：给定 B 方向 → 代入椭球有效质量公式 → 求解 $\omega_c$ → 换算有效质量2.3 硅锗材料的有效质量材料$m_l^*$$m_t^*$对称数 $s$$m_{dn} = s^{2/3}(m_l m_t^2)^{1/3}$Si (6个[100]椭球)$0.98 m_0$$0.19 m_0$6$1.08 m_0$Ge (4个[111]椭球)$1.64 m_0$$0.0819 m_0$4$0.56 m_0$三、杂质能级3.1 类氢模型估算电离能施主杂质电离能：$$\Delta E_D = \frac{m_n^*}{m_0} \cdot \frac{1}{\varepsilon_r^2} \cdot E_0 \quad (E_0 = 13.6 \text{ eV})$$受主杂质电离能：$$\Delta E_A = \frac{m_p^*}{m_0} \cdot \frac{1}{\varepsilon_r^2} \cdot E_0$$关键数据：Si $\varepsilon_r=12$，Ge $\varepsilon_r=16$；III/V族杂质电离能约 $0.01\sim0.16$ eV，远小于 $E_g$3.2 杂质补偿规则$N_D > N_A$：有效施主浓度 $N_D - N_A$，$n = N_D - N_A$$N_A > N_D$：有效受主浓度 $N_A - N_D$，$p = N_A - N_D$高度补偿：$N_D \approx N_A$，载流子极少四、载流子统计分布（重点）4.1 状态密度导带底（等能面为球面，极值在 $k=0$）：$$g_c(E) = \frac{(2m_n^*)^{3/2}}{2\pi^2 \hbar^3}(E - E_c)^{1/2}$$价带顶：$$g_v(E) = \frac{(2m_p^*)^{3/2}}{2\pi^2 \hbar^3}(E_v - E)^{1/2}$$多椭球时：用态密度有效质量 $m_{dn} = s^{2/3}(m_l m_t^2)^{1/3}$（Si: $s=6$，Ge: $s=4$）$N_c$、$N_v$ 的温度依赖：$$N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_0 T}{h^2}\right)^{3/2} \propto T^{3/2}$$$$N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_0 T}{h^2}\right)^{3/2} \propto T^{3/2}$$高频考点：$N_c(T_2) = N_c(T_1)\cdot(T_2/T_1)^{3/2}$4.2 费米分布函数$$f(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\dfrac{E-E_F}{k_0T}\right)}$$$E = E_F$ 时，$f(E_F) = 1/2$非简并条件（$E - E_F \gg k_0T$）退化为玻耳兹曼分布：$$f_B(E) = \exp\left(-\frac{E-E_F}{k_0T}\right)$$4.3 非简并半导体载流子浓度（核心公式）$$\boxed{n_0 = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{k_0T}\right)}$$$$\boxed{p_0 = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{k_0T}\right)}$$乘积公式（与 $E_F$ 无关）：$$n_0 p_0 = N_c N_v \exp\left(-\frac{E_g}{k_0T}\right) = n_i^2$$4.4 本征半导体$$n_i = p_i = \sqrt{N_c N_v}\exp\left(-\frac{E_g}{2k_0T}\right)$$本征费米能级：$$E_i = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3k_0T}{4}\ln\frac{m_p^*}{m_n^*}$$室温下 Si/Ge $E_i$ 基本在禁带中线附近（偏差 $< 1.5k_0T$）4.5 杂质半导体载流子浓度（四温区讨论）计算主线：电中性条件 → 确定 $E_F$ → 代入 $n_0, p_0$ 公式低温弱电离区（$n_0 = n_D^+$，$p_0 \approx 0$）$$E_F = \frac{E_c + E_D}{2} + \frac{k_0T}{2}\ln\frac{N_D}{2N_c}$$$$n_0 = \left(\frac{N_D N_c}{2}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{\Delta E_D}{2k_0T}\right)$$其中 $\Delta E_D = E_c - E_D$ 为施主电离能强电离（饱和）区（全部电离，忽略本征激发）$$n_0 = N_D, \quad E_F = E_c + k_0T\ln\frac{N_D}{N_c}$$$$p_0 = \frac{n_i^2}{N_D}$$判断全电离条件（室温 Si 掺 P 为例）：$N_D \lesssim 3\times10^{17}$ cm⁻³过渡区（本征激发不可忽略，联立方程组）电中性条件：$n_0 = N_D + p_0$，结合 $n_0 p_0 = n_i^2$，得：$$n_0 = \frac{N_D}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_D}{2}\right)^2 + n_i^2}$$$$p_0 = \frac{n_i^2}{n_0}$$当 $N_D \gg n_i$ 时：$n_0 \approx N_D + n_i^2/N_D$，$p_0 \approx n_i^2/N_D$当 $N_D \ll n_i$ 时：$n_0 \approx p_0 \approx n_i$（本征激发主导）p 型对称关系$$p_0 = N_A, \quad E_F = E_v - k_0T\ln\frac{N_A}{N_v}$$（强电离）$$p_0 = \frac{N_A}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_A}{2}\right)^2 + n_i^2}$$（过渡区）4.6 费米能级位置计算由已知 $n_0$ 或 $p_0$ 反推 $E_F$：$$E_F = E_c - k_0T\ln\frac{N_c}{n_0} = E_i + k_0T\ln\frac{n_0}{n_i}$$$$E_F = E_v + k_0T\ln\frac{N_v}{p_0} = E_i - k_0T\ln\frac{p_0}{n_i}$$两施主/受主同时存在：用有效净掺杂量代替单一掺杂量五、半导体导电性5.1 基本电导率公式$$\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$$$$\rho = \frac{1}{\sigma}$$类型公式n 型 ($n \gg p$)$\sigma \approx qn\mu_n$p 型 ($p \gg n$)$\sigma \approx qp\mu_p$本征$\sigma = qn_i(\mu_n + \mu_p)$由电阻率求本征载流子浓度：$$n_i = \frac{1}{\rho_i q(\mu_n + \mu_p)}$$5.2 迁移率与平均自由时间$$\mu_n = \frac{q\tau_n}{m_n^*}, \quad \mu_p = \frac{q\tau_p}{m_p^*}$$5.3 散射机制与迁移率温度关系散射机制散射概率迁移率电离杂质散射$P_i \propto N_i T^{-3/2}$$\mu_i \propto N_i^{-1} T^{3/2}$声学波散射$P_s \propto T^{3/2}$$\mu_s \propto T^{-3/2}$多散射并联（Matthiessen 定则）：$$\frac{1}{\mu} = \sum_i \frac{1}{\mu_i} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\tau} = \sum_i \frac{1}{\tau_i}$$综合公式：$$\mu = \frac{q}{m^*} \cdot \frac{1}{AT^{3/2} + BN_i/T^{3/2}}$$5.4 计算流程由题给 $\rho$ 或 $\sigma$ 确定 $n_i$（本征）或 $n_0, p_0$（掺杂）利用电中性条件联立 $n_0 p_0 = n_i^2$计算电导率 $\sigma = q(n_0\mu_n + p_0\mu_p)$由 $J = \sigma E$ 求电场（$E = J/\sigma$）典型例题路径（补偿 Ge）：$$n_i = \frac{1}{\rho_i q(\mu_n + \mu_p)} \xrightarrow{\text{电中性}} \begin{cases}p_0 + N_D^+ = n_0 + N_A^-\\n_0 p_0 = n_i^2\end{cases} \xrightarrow{\text{联立}} n_0, p_0 \xrightarrow{} \sigma \xrightarrow{E = J/\sigma}$$六、非平衡载流子6.1 附加电导率光注入产生非平衡载流子 $\Delta n = \Delta p$：$$\Delta\sigma = q\Delta p(\mu_n + \mu_p)$$6.2 非平衡载流子寿命小注入（$\Delta p \ll n_0 + p_0$），指数衰减：$$\Delta p(t) = (\Delta p)_0 e^{-t/\tau}$$直接复合净复合率：$$U_d = r(np - n_i^2)$$小注入下寿命（n 型为例）：$$\tau \approx \frac{1}{rn_0}$$间接复合（S-R-H 理论，单一复合中心 $N_t$）：$$U = \frac{N_t r_n r_p (np - n_i^2)}{r_n(n+n_1) + r_p(p+p_1)}$$其中：$n_1 = N_c\exp\!\left(\dfrac{E_t - E_c}{k_0T}\right)$，$p_1 = N_v\exp\!\left(\dfrac{E_v - E_t}{k_0T}\right)$，满足 $n_1 p_1 = n_i^2$强 n 型小注入（$n_0 \gg p_0, n_1, p_1$）：$$\tau_p \approx \frac{1}{N_t r_p}$$强 p 型小注入：$$\tau_n \approx \frac{1}{N_t r_n}$$复合中心捕获截面：$r_n = \sigma_n v_T$，$r_p = \sigma_p v_T$，$v_T = \sqrt{3k_0T/m^*}$有效复合中心条件：$r_n \approx r_p$，且能级在禁带中央附近（$E_t \approx E_i$）时复合率最大6.3 准费米能级非平衡状态下：$$n = n_i\exp\frac{E_{Fn} - E_i}{k_0T}, \quad p = n_i\exp\frac{E_i - E_{Fp}}{k_0T}$$$$np = n_i^2\exp\frac{E_{Fn} - E_{Fp}}{k_0T}$$$|E_{Fn} - E_{Fp}|$ 越大，偏离平衡态越远；两者重合 → 恢复平衡6.4 扩散方程与扩散长度菲克定律（空穴）：$$S_p = -D_p \frac{d\Delta p}{dx}$$一维稳态扩散方程：$$D_p \frac{d^2\Delta p}{dx^2} = \frac{\Delta p}{\tau}$$通解：$\Delta p(x) = A e^{-x/L_p} + B e^{x/L_p}$扩散长度：$L_p = \sqrt{D_p \tau}$（空穴平均扩散距离）样品足够厚（$x=0$ 处注入，$x\to\infty$ 时 $\Delta p\to 0$）：$$\Delta p(x) = (\Delta p)_0 e^{-x/L_p}$$表面处扩散电流密度：$J_p\big|_{x=0} = qD_p(\Delta p)_0/L_p$样品厚度 $W \ll L_p$（线性分布）：$$\Delta p(x) \approx (\Delta p)_0\left(1 - \frac{x}{W}\right), \quad \frac{d\Delta p}{dx} = -\frac{(\Delta p)_0}{W}$$6.5 爱因斯坦关系（重要）$$\boxed{\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{k_0T}{q}}$$室温下 $k_0T/q = 0.026$ V，故 $D = 0.026\mu$总电流密度（漂移 + 扩散）：$$J_p = qp\mu_p|E| - qD_p\frac{d\Delta p}{dx}$$$$J_n = qn\mu_n|E| + qD_n\frac{d\Delta n}{dx}$$6.6 稳态光照下过剩载流子产生率 $g_p$，寿命 $\tau$，稳态时：$$\frac{d\Delta p}{dt} = g_p - \frac{\Delta p}{\tau} = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta p = g_p\tau$$七、pn 结7.1 接触电势差（内建电场）$$V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{n_{n0}}{n_{p0}} = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$或：$qV_D = E_{Fn} - E_{Fp}$（两侧费米能级之差）7.2 耗尽层宽度（突变结）电中性条件：$N_A x_p = N_D x_n$无外压时总宽度：$$x_D = x_n + x_p = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0}{q}\cdot\frac{N_A + N_D}{N_A N_D}\cdot V_D}$$外加偏压 $V$（正偏取正，反偏取负）：$$x_D(V) = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0(V_D - V)}{q}\cdot\frac{N_A + N_D}{N_A N_D}}$$单侧突变结 $p^+n$（$N_A \gg N_D$）：$$x_n = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0(V_D - V)}{qN_D}}$$计算流程：$$N_D = \frac{1}{\rho_n q\mu_n}, \quad N_A = \frac{1}{\rho_p q\mu_p} \xrightarrow{} V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2} \xrightarrow{} x_D$$7.3 理想 pn 结电流方程（肖克莱方程）边界处少子注入浓度：$$\Delta p_n(x_n) = p_{n0}\left[\exp\frac{qV}{k_0T} - 1\right]$$$$\Delta n_p(-x_p) = n_{p0}\left[\exp\frac{qV}{k_0T} - 1\right]$$总电流密度：$$J = J_s\left[\exp\frac{qV}{k_0T} - 1\right]$$反向饱和电流密度：$$J_s = \frac{qD_p p_{n0}}{L_p} + \frac{qD_n n_{p0}}{L_n}$$其中 $p_{n0} = n_i^2/N_D$，$n_{p0} = n_i^2/N_A$，$L_p = \sqrt{D_p\tau_p}$，$L_n = \sqrt{D_n\tau_n}$正向大电流：$J \approx J_s\exp(qV/k_0T)$反向饱和（$q|V| \gg k_0T$）：$J \approx -J_s$实际 pn 结修正：加入复合/产生电流时 $J \propto \exp(qV/mk_0T)$，$m=1$（扩散电流主导）或 $m=2$（复合电流主导）7.4 pn 结势垒电容突变结：$$C_T = \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0 A}{x_D} = A\sqrt{\frac{q\varepsilon_r\varepsilon_0}{2(V_D - V)}\cdot\frac{N_A N_D}{N_A + N_D}}$$$$\frac{1}{C_T^2} = \frac{2(V_D - V)}{q\varepsilon_r\varepsilon_0}\cdot\frac{N_A + N_D}{N_A N_D}$$线性缓变结（$\alpha_j$ 为杂质梯度）：$$x_D = \left(\frac{12\varepsilon_r\varepsilon_0 V_D}{q\alpha_j}\right)^{1/3}$$（无外压），外加电压 $V$ 时将 $V_D$ 替换为 $V_D - V$$C_T$-$V$ 特性图斜率 → 提取掺杂浓度；反向偏压越大，$C_T$ 越小7.5 击穿电压雪崩击穿（轻掺杂，低 $N_D$）：由碰撞电离引起，$V_{BR}$ 较高隧道击穿（齐纳击穿）（重掺杂，高 $N$，$V_{BR}$ 约 $< 6$ V）：$qEx > E_g$ 时发生热电击穿：$J_s \propto n_i^2 \propto T^3\exp(-E_g/k_0T)$，温度升高引起热失控八、肖特基势垒与欧姆接触8.1 肖特基势垒基本参数参数公式理想肖特基势垒$\phi_{B0} = \phi_m - \chi$内建电势差$V_{bi} = \phi_{B0} - \phi_n$，其中 $\phi_n = (E_c - E_F)/q$8.2 空间电荷区宽度$$W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi} + V_R)}{qN_d}}$$（外加反偏 $V_R$）电容：$$C = \frac{\varepsilon_s}{W}, \quad \frac{1}{C^2} = \frac{2(V_{bi} + V_R)}{q\varepsilon_s N_d}$$8.3 热电子发射电流方程$$J = A^* T^2\exp\!\left(-\frac{e\phi_{Bn}}{kT}\right)\left[\exp\!\left(\frac{eV_a}{kT}\right) - 1\right]$$反向饱和电流密度：$J_{sT} = A^* T^2\exp(-e\phi_{Bn}/kT)$有效理查德森常数：$A^* = 4\pi em_n^* k^2/h^3$（Si: 120 A/cm²K²，GaAs: 1.12 A/cm²K²）8.4 肖特基 vs pn 结对比参数肖特基结pn 结导通机制多子热电子发射少子注入扩散开启电压~0.3 V~0.6 V开关速度ps 量级ns 量级反向饱和电流远大于 pn 结较小九、典型计算题路径总结路径 1：由电阻率求载流子浓度$$\rho_i = \frac{1}{qn_i(\mu_n+\mu_p)} \Rightarrow n_i$$路径 2：由掺杂浓度求费米能级位置$$E_F = E_c + k_0T\ln\frac{N_D}{N_c} \text{（n型强电离）}$$$$E_F - E_i = k_0T\ln\frac{n_0}{n_i} = k_0T\ln\frac{N_D}{n_i}$$路径 3：过渡区载流子浓度（联立方程）$$\begin{cases}n_0 = N_D + p_0\\n_0 p_0 = n_i^2\end{cases} \Rightarrow n_0 = \frac{N_D + \sqrt{N_D^2 + 4n_i^2}}{2}$$路径 4：扩散长度 → 寿命$$\tau_n = \frac{L_n^2}{D_n} = \frac{L_n^2}{\mu_n \cdot k_0T/q}$$（通过爱因斯坦关系）路径 5：pn 结势垒高度与宽度$$V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$，再按 p⁺n/n⁺p 近似求 $x_n$ 或 $x_p$路径 6：非平衡光注入的准费米能级先由平衡态求 $n_0, p_0, E_F$；注入后 $n = n_0 + \Delta n$，$p = p_0 + \Delta p$：$$E_{Fn} = E_i + k_0T\ln\frac{n}{n_i}, \quad E_{Fp} = E_i - k_0T\ln\frac{p}{n_i}$$十、关键公式汇编$$n_0 p_0 = n_i^2 \quad \text{（适用所有非简并半导体，与} E_F \text{无关）}$$$$n_i = \sqrt{N_c N_v}\exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_0T}\right)$$$$\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p), \quad \rho = 1/\sigma$$$$\frac{D}{\mu} = \frac{k_0T}{q} \approx 0.026 \text{ V（室温）}$$$$L = \sqrt{D\tau}, \quad \Delta p(x) = (\Delta p)_0 e^{-x/L}$$$$J = J_s\left[e^{qV/k_0T} - 1\right], \quad J_s = \frac{qD_p p_{n0}}{L_p} + \frac{qD_n n_{p0}}{L_n}$$$$V_D = \frac{k_0T}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$$$x_D = \sqrt{\frac{2\varepsilon_r\varepsilon_0(V_D-V)}{q}\cdot\frac{N_A+N_D}{N_A N_D}}$$$$\tau_p \approx \frac{1}{N_t r_p}, \quad \tau_n \approx \frac{1}{N_t r_n}$$（强型材料，间接复合）$$N_c(T) = N_c(300\text{K})\cdot\left(\frac{T}{300}\right)^{3/2}$$
一、半导体基础回顾1.1 本征半导体热平衡下，电子与空穴浓度相等：$$n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2k_BT}\right)$$其中 $N_c,\ N_v$ 为导带/价带有效态密度，$E_g$ 为禁带宽度。室温下Si：$n_i \approx 1.5\times10^{10}\ \text{cm}^{-3}$。1.2 掺杂半导体N型（施主浓度 $N_D$，多子为电子）：$$n \approx N_D,\quad p = \frac{n_i^2}{N_D}$$P型（受主浓度 $N_A$，多子为空穴）：$$p \approx N_A,\quad n = \frac{n_i^2}{N_A}$$费米能级位置（相对本征费米能级 $E_i$）：$$E_F - E_i = k_BT \ln\frac{N_D}{n_i} \quad \text{(N型)}$$$$E_i - E_F = k_BT \ln\frac{N_A}{n_i} \quad \text{(P型)}$$二、PN结的形成2.1 接触与扩散P型和N型半导体接触后，浓度梯度驱动扩散：空穴：$P \to N$电子：$N \to P$载流子越界复合，留下不可移动的电离杂质，形成空间电荷区（耗尽区，Depletion Region）。2.2 内建电场与平衡空间电荷区产生内建电场 $\mathcal{E}_{bi}$（方向 $N \to P$），对多子扩散形成阻力，同时驱动少子漂移。平衡条件（扩散 = 漂移）：$$J_n = q\mu_n n\mathcal{E} + qD_n\frac{dn}{dx} = 0$$$$J_p = q\mu_p p\mathcal{E} - qD_p\frac{dp}{dx} = 0$$热平衡的等价表述：全局费米能级对齐，$E_F$ 为常数。2.3 内建电位差$$V_{bi} = \frac{k_BT}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$典型值：Si PN结室温下 $V_{bi} \approx 0.6\text{–}0.8\ \text{V}$。能带弯曲量即为 $qV_{bi}$：$$qV_{bi} = (E_F^N - E_F^P)\big|_{\text{接触前}} = \Delta E_F$$2.4 耗尽近似与耗尽层宽度泊松方程：$$\frac{d^2\phi}{dx^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_s}$$在耗尽区内（$-x_p < x < x_n$）：$$\rho = \begin{cases} -qN_A, & -x_p < x < 0 \\ +qN_D, & 0 < x < x_n \end{cases}$$电荷守恒：$N_A x_p = N_D x_n$各侧宽度：$$x_n = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s V_{bi}}{q}\cdot\frac{N_A}{N_D(N_A+N_D)}}, \quad x_p = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s V_{bi}}{q}\cdot\frac{N_D}{N_A(N_A+N_D)}}$$总耗尽区宽度：$$W = x_n + x_p = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s V_{bi}}{q}\cdot\frac{N_A+N_D}{N_A N_D}}$$最大电场（结界面处）：$$\mathcal{E}_{max} = \frac{qN_D x_n}{\varepsilon_s} = \frac{2V_{bi}}{W}$$三、PN结的电流-电压特性3.1 加偏压后的变化施加外偏压 $V$（正向：P接正极）后，势垒变为 $V_{bi} - V$，耗尽区宽度变为：$$W(V) = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi}-V)}{q}\cdot\frac{N_A+N_D}{N_A N_D}}$$3.2 理想二极管方程（肖克利方程）$$I = I_0\left(\exp\frac{qV}{k_BT} - 1\right)$$其中饱和电流（少子注入决定）：$$I_0 = Aqn_i^2\left(\frac{D_p}{L_p N_D} + \frac{D_n}{L_n N_A}\right)$$$D_p,\ D_n$：空穴/电子扩散系数$L_p = \sqrt{D_p \tau_p}$，$L_n = \sqrt{D_n \tau_n}$：少子扩散长度$\tau$：少子寿命3.3 非理想因子实际器件中复合不可忽视，方程修正为：$$I = I_0\left(\exp\frac{qV}{nk_BT} - 1\right)$$理想因子 $n$：区域$n$主导机制中等正偏$\approx 1$中性区少子扩散复合小正偏$\approx 2$耗尽区 SRH 复合强正偏$>1$大注入、串联电阻3.4 结电容势垒电容（耗尽区宽度随偏压变化）：$$C_j = A\sqrt{\frac{q\varepsilon_s N_A N_D}{2(N_A+N_D)(V_{bi}-V)}} = \frac{\varepsilon_s A}{W}$$扩散电容（正偏时少子存储）：$$C_d = \frac{q\tau_p}{2k_BT} \cdot I_p + \frac{q\tau_n}{2k_BT} \cdot I_n \approx \frac{\tau I}{2nk_BT/q}$$四、PN结太阳能电池原理4.1 光电转换四步骤$$\text{光子吸收} \to \text{激子/自由载流子产生} \to \text{电荷分离} \to \text{载流子收集}$$① 光子吸收：光子能量 $h\nu \geq E_g$ 才能激发电子跨越禁带。吸收截止波长：$$\lambda_g = \frac{hc}{E_g} \approx \frac{1240\ \text{nm·eV}}{E_g}$$吸收系数 $\alpha(\lambda)$ 决定光在材料内的衰减：$$I(x) = I_0 e^{-\alpha x}$$直接带隙（GaAs、钙钛矿）$\alpha \sim 10^5\ \text{cm}^{-1}$，吸收层仅需数百 nm；间接带隙（Si）$\alpha \sim 10^3\ \text{cm}^{-1}$，需数百 μm。② 载流子产生：局域光生成率：$$G(x) = (1-R)\cdot\alpha\phi_0 e^{-\alpha x}$$其中 $R$ 为反射率，$\phi_0$ 为入射光子通量。③ 电荷分离：PN结内建电场将耗尽区内的光生电子-空穴对强制分离，电子扫向N侧，空穴扫向P侧。这是产生净光电流的关键。④ 载流子收集：分离后的载流子须在复合前到达电极。有效收集要求少子扩散长度 $L$ 远大于吸收层厚度 $d$：$$L = \sqrt{D\tau} \gg d$$4.2 光照下的 I–V 方程叠加原理（光电流与暗电流叠加）：$$\boxed{I = I_{ph} - I_0\left(\exp\frac{qV}{nk_BT} - 1\right)}$$$I_{ph}$：光生电流（短路电流近似），正比于光子通量光照使 I–V 曲线整体下移，在第四象限工作（发电）4.3 关键特征参数短路电流 $I_{sc}$（$V=0$）：$$I_{sc} \approx I_{ph} = qA\int_0^\infty \phi(\lambda)\cdot QE(\lambda)\,d\lambda$$$QE(\lambda)$（量子效率）：每个入射光子产生并被收集的电子数。开路电压 $V_{oc}$（$I=0$）：$$V_{oc} = \frac{nk_BT}{q}\ln\left(\frac{I_{ph}}{I_0}+1\right) \approx \frac{nk_BT}{q}\ln\frac{I_{ph}}{I_0}$$$V_{oc}$ 的上限由带隙决定（约为 $E_g/q$ 的 60–80%），复合越强则 $I_0$ 越大，$V_{oc}$ 越低。最大功率点：$$P_{max} = I_{mp} \cdot V_{mp}, \quad \frac{dP}{dV}\bigg|_{V_{mp}} = 0$$填充因子 FF：$$FF = \frac{P_{max}}{I_{sc}\cdot V_{oc}} = \frac{I_{mp}\cdot V_{mp}}{I_{sc}\cdot V_{oc}} \quad (0 < FF < 1)$$理想二极管 $FF \approx 0.8\text{–}0.85$，串联电阻 $R_s$ 增大和并联电阻 $R_{sh}$ 减小都会降低 $FF$。光电转换效率：$$\eta = \frac{P_{max}}{P_{in}} = \frac{I_{sc}\cdot V_{oc}\cdot FF}{P_{in}}$$4.4 等效电路完整等效电路（含寄生电阻）：$$I = I_{ph} - I_0\left(\exp\frac{q(V+IR_s)}{nk_BT}-1\right) - \frac{V+IR_s}{R_{sh}}$$$R_s$（串联电阻）：来自接触电阻、体电阻、栅线电阻 → 降低 $FF$ 和 $I_{sc}$$R_{sh}$（并联/旁路电阻）：来自漏电通道、晶界缺陷 → 降低 $FF$ 和 $V_{oc}$理想情况：$R_s \to 0$，$R_{sh} \to \infty$。4.5 Shockley–Queisser 效率极限单结太阳能电池在 AM1.5G 光谱下的理论最大效率（1961）：$$\eta_{SQ} \leq 33.7\%$$发生在 $E_g \approx 1.34\ \text{eV}$（接近GaAs）。损失来源：损失机制说明透射损失$h\nu < E_g$ 的光子不被吸收热化损失$h\nu \gg E_g$ 的多余能量变为热$V_{oc}$ 亏损$qV_{oc} < E_g$（复合、熵增）填充因子损失理想二极管特性偏离五、突破 SQ 极限：叠层电池5.1 基本思路多个子电池串联，各自吸收不同波段，各取最优效率：$$\eta_{tandem} > \eta_{SQ,\ \text{单结}}$$两端（2T）叠层需满足电流匹配：$$I_{sc,1} = I_{sc,2} \quad (\text{串联限制})$$四端（4T）叠层各自独立工作，无电流匹配限制，更灵活但成本高。5.2 钙钛矿/硅叠层（当前最热）钙钛矿顶电池（$E_g \approx 1.65\text{–}1.73\ \text{eV}$）+ 晶硅底电池（$E_g = 1.12\ \text{eV}$）：$$\eta_{theo} > 43\% \quad \text{（两端串联理论极限）}$$实验室记录（2024）：$\eta \approx 33.9\%$。通过调节钙钛矿组分（Cs/FA比、卤素Br/I比）可精确调控 $E_g$，实现最优电流匹配。六、重要损失机制汇总损失来源物理根源影响参数改善手段表面复合界面悬挂键捕获载流子$V_{oc}$，$I_{sc}$钝化（SiO₂、Al₂O₃、有机层）体复合（SRH）禁带内缺陷态$\tau$，$L$，$V_{oc}$高纯度材料、减少位错串联电阻接触电阻、体电阻$FF$，$I_{sc}$细栅线/IBC背接触反射损失前表面光子反射$I_{sc}$减反射膜（SiN₄）、绒面织构遮挡损失金属栅线遮光$I_{sc}$细栅线、IBC结构热化损失高能光子过剩能量$V_{oc}$叠层、热载流子电池七、关键公式速查$$V_{bi} = \frac{k_BT}{q}\ln\frac{N_A N_D}{n_i^2}$$$$W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi}-V)}{q}\cdot\frac{N_A+N_D}{N_A N_D}}$$$$I = I_0\!\left(e^{qV/nk_BT}-1\right) - I_{ph} \quad \text{（光照，约定正方向）}$$$$V_{oc} = \frac{nk_BT}{q}\ln\!\left(\frac{I_{ph}}{I_0}\right)$$$$\eta = \frac{I_{sc}\cdot V_{oc}\cdot FF}{P_{in}}$$$$\lambda_g\ [\text{nm}] = \frac{1240}{E_g\ [\text{eV}]}$$$$L = \sqrt{D\tau} \quad \text{（少子扩散长度，要求}\ L \gg d\text{）}$$八、当前太阳能电池发展情况的总结几个值得关注的横向联系：（1）材料 × 叠层的交叉点是当前最热的研究方向——钙钛矿顶电池（宽带隙 ~1.7 eV）+ 晶硅底电池（窄带隙 ~1.1 eV）的二端叠层在2024年已突破33%。钙钛矿的带隙可调性（通过调Ga/In或卤素比例）正是让它成为叠层顶电池首选的核心原因。（2）柔性 × 钙钛矿的组合，这是因为，有机/钙钛矿都可以做薄膜柔性器件，但稳定性和封装是最大瓶颈。（3）DSSC 的弱光优势来自其电化学驱动机制不依赖强内建电场，在散射光（阴天、室内）下效率下降幅度远小于硅基电池，这是它的生态位。
有机光电材料与器件基础课程笔记
一、迁移率与电荷传输1.1 定义迁移率 ($\mu$) 是描述电荷载流子（电子或空穴）在电场作用下运动快慢程度的核心宏观参数。其物理定义为载流子漂移速度 ($v_d$) 与施加电场强度 ($E$) 的比值：$$\mu = \frac{v_d}{E}$$单位通常为 $cm^2/(V \cdot s)$。在中文学术语境下，“迁移率”与“电迁移率”在固态电子器件研究中通常指代同一概念，即电荷在电场驱动下的传输能力。1.2 有机材料的传输机制：跳跃模型与无机半导体（如硅）中高度有序的“能带传输”不同，有机发光材料分子间主要靠范德华力结合，呈现无定形态。机制： 电荷通过在离散的分子位点之间发生量子力学“跳跃”来传输。特性： 由于跳跃传输效率较低，有机物迁移率普遍偏低（$10^{-6}$ 到 $10^{-3} \, cm^2/(V \cdot s)$）。场致效应： 迁移率随电场增加而增大，通常遵循 Poole-Frenkel 规律：$\mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma \sqrt{E})$。单极性： 材料往往表现出倾向于传输单一载流子（空穴或电子）的特性。二、有机导电基础与材料选型2.1 导电微观结构有机材料具备导电或半导体特性的核心在于其共轭体系。碳骨架处于 $sp^2$ 杂化状态，未参与杂化的 $p$ 轨道侧向重叠形成离域 $\pi$ 键。载流子在分子内部沿 $\pi$ 轨道传输，在分子间则依赖 $\pi-\pi$ 堆积 (Stacking) 进行跳跃。2.2 电子给体与受体材料的电学性质由前线轨道（HOMO 和 LUMO）决定：电子给体 (D型)： 易失电子，具较高 HOMO 能级，用作空穴传输层 (HTL)。典型材料：P3HT（聚合物光伏）、NPB（经典OLED空穴传输）、CuPc。电子受体 (A型)： 易得电子，具较低 LUMO 能级，用作电子传输层 (ETL)。典型材料：PCBM（富勒烯衍生物）、Alq3（经典绿光及电子传输）、TPBi、ITIC。2.3 导电高分子的广泛应用这类材料兼具金属电学特性和塑料加工柔性：光电器件 (OLED/OPV)： 利用其透明度与功函数匹配性，如 PEDOT:PSS 作为空穴注入层。能量存储： 利用其氧化还原活性提供高比电容，如 聚吡咯 (PPy) 和 聚苯胺 (PANI)。生物与化学传感： 对环境刺激（气体、pH）高度敏感，如 聚噻吩衍生物。工业防护： 用于防腐涂层与电磁屏蔽 (EMI)。三、OLED 器件物理与工程架构3.1 定义与物理过程OLED 是一种电致发光 (Electroluminescence, EL) 器件，通过在多层纳米级有机薄膜上施加电场，将电能转化为光能。核心物理步骤：注入： 电子从低功函数阴极注入 LUMO，空穴从高功函数阳极注入 HOMO。传输： 载流子在电场驱动下通过跳跃机制向发光层移动。复合： 电子与空穴在发光层相遇，受库仑力束缚形成激子。发光： 激子通过辐射跃迁回到基态释放光子，波长由带隙 ($E_g = LUMO - HOMO$) 决定。3.2 多层结构与能级阶梯可视化器件通过“阶梯状”能级设计，引导电荷注入并将其限制在发光区：四、发光动力学与前沿机制 (荧光 vs 磷光)4.1 雅布隆斯基图 (Jablonski Diagram)电荷复合基于自旋统计，产生 25% 单线态 ($S_1$) 和 75% 三线态 ($T_1$) 激子。4.2 突破 25% 效率极限的策略传统荧光只能利用 $S_1$ 发光（25%上限）。要实现 100% 内量子效率，必须利用三线态：磷光机制 (重原子效应)： 引入 Ir、Pt 等重金属原子，增强自旋-轨道耦合，解除自旋禁阻，使 $T_1 \rightarrow S_0$ 能够高效发光。TADF (热活化延迟荧光)： 采用高度扭曲的 D-A（给体-受体）结构，将 HOMO 和 LUMO 在空间上分离，使得单/三线态能隙极小 ($\Delta E_{ST} \approx 0$)，促使三线态激子通过反系间窜越 (RISC) 转化为单线态发光。五、概念拓展 —— 光变色与电变色虽然均表现为宏观色彩变化，但驱动力与微观本质截然不同，在柔性显示与智能窗口中有互补应用。5.1 光变色机制： 吸收光子能量导致分子构型的可逆异构化（如螺吡喃的开/闭环，偶氮苯的顺/反异构），改变共轭长度。特性： 光致发生，热致回复，缺乏长期双稳态性。5.2 电变色机制： 外部电压驱动下的电化学氧化还原反应（如 $WO_3$ 的离子嵌入脱出）。特性： 主动控制，具双稳态（撤电后保持颜色），非辐射跃迁（仅改变吸收光谱，而 OLED 为辐射发光）。
一、非平衡载流子的注入与复合1. 平衡载流子与非平衡载流子热平衡态下，温度 $T$ 一定，平衡载流子浓度 $n_0$、$p_0$ 确定，满足热平衡判据：$$n_0 p_0 = n_i^2$$对半导体施加外部作用（光照、电注入等）后，破坏热平衡，额外产生的载流子称为非平衡载流子（过剩载流子），用 $\Delta n$、$\Delta p$ 表示：$$n = n_0 + \Delta n, \quad p = p_0 + \Delta p$$注意：电中性条件要求 $\Delta n = \Delta p$（每产生一个电子必然同时产生一个空穴）。2. 非平衡载流子的产生与复合产生率 $G$：单位时间单位体积中产生的载流子数复合率 $R$：单位时间单位体积中复合的载流子数稳态时：$G = R$，$\Delta n$、$\Delta p$ 维持不变光注入过程：光子能量 $h\nu > E_g$ → 价带电子跃迁至导带 → 产生电子空穴对 → $\Delta n$、$\Delta p$ 增加 → 复合率升高 → 最终达到新稳态。3. 多子与少子中的非平衡载流子类型多数载流子少数载流子n 型电子 $n_0$，$\Delta n$为非平衡多子空穴 $p_0$，$\Delta p$为非平衡少子p 型空穴 $p_0$，$\Delta p$为非平衡多子电子 $n_0$，$\Delta n$为非平衡少子关键结论：$\Delta p \gg p_0$（少子对非平衡载流子极为敏感），而多子几乎不受影响。因此，非平衡少子对半导体特性起主导作用。4. 注入方式与检验光注入：$h\nu > E_g$ 的光照电注入：pn 结（少数载流子注入）检验方法：光照后电导率增大（附加电导率 $\Delta\sigma = q(\mu_n \Delta n + \mu_p \Delta p)$），通过电流/电压变化检测二、非平衡载流子的寿命1. 寿命的定义撤销外部注入后，非平衡载流子不会立即消失，而是通过净复合逐渐衰减回平衡态。其平均生存时间称为非平衡载流子寿命 $\tau$。2. 寿命的计算（以 n 型半导体少子 $\Delta p$ 为例）复合率正比于非平衡载流子浓度：$$\frac{d(\Delta p)}{dt} = -\frac{\Delta p}{\tau}$$小注入下 $\tau$ 为常数，代入初始条件 $\Delta p(0) = \Delta p_0$，解得：$$\boxed{\Delta p(t) = \Delta p_0 \, e^{-t/\tau}}$$物理意义：$t = \tau$ 时，非平衡载流子浓度衰减至原来的 $1/e$。$\tau$ 越小，复合越快。可以严格证明 $\tau$ 就是所有少子的平均生存时间（对 $t \cdot \Delta p(t)/\Delta p_0$ 从 0 到 $\infty$ 积分得 $\tau$）。3. 寿命的测量方法光电导衰减法（直流/高频/微波）：监测撤销光照后电压衰减曲线，读取 $t = \tau$ 处光磁电法：利用光磁电效应，适合短寿命材料（如 GaAs）扩散长度法双脉冲法4. 典型寿命数据材料少子寿命完整 Ge 单晶$\sim 10^4\ \mu\text{s}$完整 Si 单晶$\sim 10^3\ \mu\text{s}$GaAs$10^{-8}$–$10^{-9}\ \text{s}$（寿命极短，直接带隙）同种材料不同条件下寿命差别极大，因此 $\tau$ 被称为"半导体结构灵敏参数"。三、准费米能级1. 概念引入热平衡态系统具有统一费米能级 $E_F$。非平衡态时，导带和价带内部各自热弛豫极快（带内跃迁频繁），但带间跃迁稀少，带间来不及达到平衡。因此可以分别为导带和价带引入各自的"准费米能级"：导带准费米能级：$E_{Fn}$（电子准费米能级）价带准费米能级：$E_{Fp}$（空穴准费米能级）2. 非平衡态载流子浓度表达式$$n = n_i \exp\!\left(\frac{E_{Fn} - E_i}{kT}\right), \quad p = n_i \exp\!\left(\frac{E_i - E_{Fp}}{kT}\right)$$$n > n_0$：$E_{Fn}$ 比平衡态 $E_F$ 更靠近导带底 $E_c$$p > p_0$：$E_{Fp}$ 比平衡态 $E_F$ 更靠近价带顶 $E_v$3. 重要结论非平衡态下：$$np = n_i^2 \exp\!\left(\frac{E_{Fn} - E_{Fp}}{kT}\right) > n_i^2$$小注入时（以 p 型为例）：多子浓度基本不变，$E_{Fp}$ 偏离 $E_F$ 很小少子浓度大幅变化，$E_{Fn}$ 偏离 $E_F$ 显著直觉图像：准费米能级的分裂程度反映了系统偏离平衡的程度，分裂越大，非平衡程度越强。四、 复合理论1. 复合方式分类按微观机构：直接复合：导带电子直接跃迁至价带与空穴复合（适合直接带隙半导体，如 GaAs）间接复合：通过禁带中的复合中心（杂质/缺陷能级）分步复合（Si、Ge 以此为主）按位置：体内复合表面复合按能量释放方式：辐射复合（发光复合）：发射光子非辐射复合：发射声子（能量给晶格）俄歇复合：能量传给第三个载流子2. 直接复合设净复合率 $U = R - G$：$$R = r n p, \quad G_0 = r n_0 p_0 = r n_i^2$$$$\boxed{U = r(np - n_i^2) = r(n_0 + p_0 + \Delta n)\Delta n}$$其中 $r$ 为复合几率（与温度有关，与 $n$、$p$ 无关）。直接复合寿命：小注入（$\Delta n \ll n_0$，n 型）：$\tau \approx \dfrac{1}{r(n_0 + p_0)} \approx \dfrac{1}{rn_0}$，$\tau$ 为常数；$n_0$ 越大（电导率越大），$\tau$ 越短大注入（$\Delta n \gg n_0, p_0$）：$\tau = \dfrac{1}{r \cdot \Delta n}$，随少子减少而增大室温下，Si 直接复合寿命约 $10^2$–$10^3\ \text{s}$，远长于实测值，说明 Si/Ge 中实际复合以间接复合为主。3. 间接复合（SRH 复合）复合中心：禁带中的深能级杂质（位于 $E_i$ 附近最有效），起"台阶"作用，分两步完成复合。四个微观过程（以复合中心能级 $E_t$、浓度 $N_t$ 为例）：过程描述方向甲复合中心从导带俘获电子得电子乙复合中心向导带发射电子失电子丙复合中心从价带俘获空穴失电子丁复合中心向价带发射空穴得电子稳态时复合中心上电子得失平衡（甲 + 丁 = 乙 + 丙），净复合率：$$U = \frac{np - n_i^2}{\tau_p(n + n_1) + \tau_n(p + p_1)}$$其中 $n_1 = n_i e^{(E_t - E_i)/kT}$，$p_1 = n_i e^{(E_i - E_t)/kT}$，$\tau_{n,p} = 1/(r_{n,p} N_t)$。有效复合中心的位置：$U$ 对 $E_t$ 取极值，当 $r_n = r_p = r$ 时，$E_t = E_i$（接近禁带中央）时 $U$ 最大，即深能级杂质是最有效的复合中心。强 n 型小注入简化：$$\tau \approx \tau_p = \frac{1}{r_p N_t}$$少子寿命由空穴俘获截面和复合中心浓度决定。俘获截面 $\sigma$：描述复合中心俘获载流子的能力，$\sigma \approx 10^{-13}$–$10^{-17}\ \text{cm}^2$；俘获几率 $r = \sigma v_T$（$v_T$ 为热运动速度，300 K 时约 $10^7\ \text{cm/s}$）。4. 表面复合表面缺陷多 → 复合中心密度大 → 表面复合显著，少子寿命缩短。$$U_s = s \cdot \Delta p|_{\text{surface}}$$$s$ 为表面复合速度（单位 cm/s），描述表面复合强弱。实际测量的寿命是体内复合和表面复合的综合结果。5. 俄歇复合载流子复合时，将能量传给第三个载流子（激发至更高能级），该载流子随后通过声子弛豫。俄歇复合是非辐射复合，在窄禁带半导体和高掺杂/高温下起重要作用，是影响半导体光电器件发光效率的重要因素。6. 影响少子寿命的因素材料完整性：缺陷越多，复合中心越多，寿命越短深能级杂质：引入有效复合中心表面状态：表面复合不可忽视高能粒子辐射：造成晶格缺陷五、载流子的扩散运动1. 扩散的物理图像载流子分布不均匀时，由高浓度处向低浓度处扩散，形成扩散电流。扩散是热运动统计结果，不需要电场驱动。2. 菲克扩散定律扩散流密度（单位时间通过单位面积的粒子数）正比于浓度梯度：$$S_p = -D_p \frac{\partial p}{\partial x}, \quad S_n = -D_n \frac{\partial n}{\partial x}$$$D_p$、$D_n$ 分别为空穴、电子扩散系数，单位 $\text{cm}^2/\text{s}$。3. 一维稳态扩散方程对 n 型半导体中的少子（空穴），在表面持续注入、内部无额外产生、稳态条件下，对厚度 $\Delta x$ 微元作载流子守恒：$$D_p \frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} = \frac{\Delta p}{\tau_p}$$引入扩散长度 $L_p = \sqrt{D_p \tau_p}$（单位 cm）：$$\frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} = \frac{\Delta p}{L_p^2}$$通解：$\Delta p(x) = A e^{x/L_p} + B e^{-x/L_p}$情形 1：样品足够厚（$W \gg L_p$）$$\Delta p(x) = (\Delta p)_0 \, e^{-x/L_p}$$非平衡载流子按指数衰减，$L_p$ 为载流子深入样品的平均距离（扩散长度）。情形 2：样品厚度 $W \ll L_p$（薄基区，如晶体管基区）$$\Delta p(x) \approx (\Delta p)_0 \left(1 - \frac{x}{W}\right)$$呈线性分布，扩散流密度为常数，载流子穿越基区几乎无复合——晶体管正常工作的物理基础。4. 扩散电流密度$$J_p^{\text{diff}} = -qD_p \frac{\partial p}{\partial x}, \quad J_n^{\text{diff}} = qD_n \frac{\partial n}{\partial x}$$注意符号：电子带负电，流向与粒子流方向相反，两者符号一致。六、漂移与扩散并存：爱因斯坦关系1. 总电流密度方程同时存在电场（漂移）和浓度梯度（扩散）时，总电流：$$J_p = q\mu_p p E - qD_p \frac{\partial p}{\partial x}$$$$J_n = q\mu_n n E + qD_n \frac{\partial n}{\partial x}$$均匀掺杂时（无浓度梯度），仅有漂移电流；非均匀掺杂时两项均有。2. 爱因斯坦关系的推导考虑平衡态非均匀掺杂 n 型半导体（施主浓度沿 $x$ 递减）：浓度梯度 → 扩散电流扩散使载流子趋于均匀 → 建立内建电场 → 漂移电流平衡态时体内总电流为零（$J_n = 0$，$J_p = 0$），利用平衡态载流子浓度与电势的关系 $n = n_i e^{(E_{Fn}-E_i)/kT}$，以及 $\dfrac{dn}{dx} = \dfrac{qn}{kT} E$，联立得：$$\boxed{\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{kT}{q}}$$这就是爱因斯坦关系，适用于非简并半导体。物理意义：迁移率描述电场驱动下运动的难易程度，扩散系数描述浓度梯度驱动下运动的难易程度，两者之比等于热电压 $kT/q$（室温下约 25.9 mV），反映了两种运动的共同热运动本质。3. 数值举例（室温 300 K，$kT/q = 0.026\ \text{V}$）材料$\mu_n\ (\text{cm}^2/\text{Vs})$$D_n\ (\text{cm}^2/\text{s})$$\mu_p$$D_p$Si13503548012.5Ge3900101190049七、连续性方程1. 建立思路当扩散、漂移、复合、产生同时存在时，对微元体 $[x, x+\Delta x]$ 内载流子数作守恒（电流连续性）：$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = -\frac{\partial S_p}{\partial x}\bigg|_{\text{扩散}} - \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{J_p^{\text{drift}}}{q}\right)\bigg|_{\text{漂移}} - \frac{\Delta p}{\tau_p}\bigg|_{\text{复合}} + g_p\bigg|_{\text{产生}}$$2. 一维连续性方程（少子空穴）$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2(\Delta p)}{\partial x^2} - \mu_p E \frac{\partial(\Delta p)}{\partial x} - \mu_p \Delta p \frac{\partial E}{\partial x} - \frac{\Delta p}{\tau_p} + g_p$$对电子类似，符号有所不同。三维形式用 $\nabla$ 算符推广。3. 简化情形条件简化结果稳态（$\partial/\partial t = 0$）去掉时间导数项均匀分布（无扩散，$\partial^2/\partial x^2=0$）去掉扩散项零电场（$E=0$）去掉漂移项只有表面注入（$g_p=0$）去掉产生项无复合（$\tau \to \infty$）去掉复合项4. 典型应用举例例1：均匀光照停止后的衰减（无扩散、无电场、无产生）$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = -\frac{\Delta p}{\tau_p} \implies \Delta p(t) = \Delta p_0\, e^{-t/\tau_p}$$例2：稳态表面注入，无电场（稳态扩散方程）$$D_p \frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} = \frac{\Delta p}{\tau_p} \implies \Delta p(x) = (\Delta p)_0\, e^{-x/L_p}$$例3：稳态表面注入，有均匀电场 $E$$$D_p \frac{d^2(\Delta p)}{dx^2} - \mu_p E \frac{d(\Delta p)}{dx} - \frac{\Delta p}{\tau_p} = 0$$解为：$\Delta p(x) \propto \exp\!\left[\left(\dfrac{\mu_p E}{2D_p} - \sqrt{\left(\dfrac{\mu_p E}{2D_p}\right)^2 + \dfrac{1}{L_p^2}}\right)x\right]$，非平衡载流子分布同时受电场漂移和扩散复合影响。电场强：漂移主导，分布集中于靠近表面处电场弱：扩散主导，趋近于纯扩散的指数分布例4：均匀光照产生（产生率 $g_p$），$t=0$ 开始，求达到稳态的过程$$\frac{\partial(\Delta p)}{\partial t} = -\frac{\Delta p}{\tau_p} + g_p \implies \Delta p(t) = g_p \tau_p\!\left(1 - e^{-t/\tau_p}\right)$$稳态时 $\Delta p_{\infty} = g_p \tau_p$，非平衡载流子浓度达到饱和值。
一、 载流子的漂移运动和迁移率1. 导体的欧姆定律电流密度 $J$：通过垂直于电流方向单位面积的电流，单位 A/cm²欧姆定律微分形式：$$J = \sigma E = \frac{E}{\rho}$$其中 $\rho$ 为电阻率（Ω·cm），$\sigma$ 为电导率（S/cm）2. 漂移速度与迁移率漂移运动：外加电场后，载流子受电场力作用沿电场方向（电子反向）作定向运动。平均漂移速度 $\bar{v}_d$：定向运动的平均速度。电流密度与漂移速度的关系：$$J = nq\bar{v}_d$$迁移率 $\mu$（单位：cm²/V·s）：$$\mu = \frac{\bar{v}_d}{E}$$物理意义：单位场强下载流子的平均漂移速度，描述载流子在电场下移动的难易程度。迁移率越大，载流子越容易在电场中运动。3. 半导体的电导率与迁移率半导体中，导带电子和价带空穴均参与导电。两者运动方向相反，但贡献电流方向相同。漂移电流密度：$$J_n = nq\mu_n E \quad \text{（电子）}$$$$J_p = pq\mu_p E \quad \text{（空穴）}$$总电流密度：$$J = (nq\mu_n + pq\mu_p)E$$半导体电导率：$$\sigma = nq\mu_n + pq\mu_p$$类型主导载流子n型半导体电子（$\mu_n$ 大）p型半导体空穴（$\mu_p$ 大）本征半导体电子和空穴均参与外加电场后能带的变化：平衡态能带水平；加电场后能带倾斜，倾斜幅度等于 $qV$（$V$ 为外加电压），电子向高能端运动，空穴向低能端运动。加电场前后能带的变化二、载流子的散射1. 散射的概念与欧姆定律的定性解释问题：若电子只受电场力匀加速，速度应无限增大，但实验中电流恒定——矛盾！散射的本质：载流子在热运动中与晶格原子、电离杂质发生碰撞，导致速度大小和方向改变。重要概念：平均自由程：连续两次散射间自由运动的平均路程平均自由时间 $\tau$：连续两次散射间自由运动的平均时间欧姆定律的定性解释：无电场：载流子热运动无规则，宏观净电流为零有电场：电场给载流子附加定向速度；散射使附加速度重新随机化，不能无限积累 → 形成恒定的平均漂移速度 → 恒定电流2. 主要散射机构主要散射机构轨迹对比（1）电离杂质散射电离施主（正电荷）和电离受主（负电荷）产生库仑场，局部破坏晶格周期性势场，使经过附近的载流子偏转（类似 α 粒子在库仑场中的双曲线轨迹）。散射几率 $P_i$：$$P_i \propto \frac{N_i}{T^{3/2}}$$说明：$N_i$（杂质浓度）越高，散射越强；$T$ 越高，载流子热速度越大，掠过杂质时偏转越小，散射几率反而减小。（2）晶格振动散射（声子散射）晶格振动分为两类：声学波：原胞内原子同向振动，频率低，代表质心运动 → 硅、锗的主要散射机制光学波：原胞内原子反向振动，频率高，质心不动 → 在离子性半导体（如 GaAs）中重要晶格振动能量量子化为声子，散射等效为载流子与声子的碰撞（遵从准动量守恒和能量守恒）。声学波散射几率 $P_A \propto T$，光学波散射几率 $P_O$ 随温度升高而升高。（3）其他散射机构散射类型物理机制起作用条件等同能谷间散射电子从一个极值跃迁到另一个（Si的6个等能谷）温度较高中性杂质散射未电离杂质对周期势的微扰低温、重掺杂位错散射位错线俘获电子形成负电中心，产生附加电场晶体质量差载流子间散射载流子相互碰撞强简并半导体三、迁移率与杂质浓度和温度的关系1. 平均自由时间与散射几率的关系设 $t=0$ 时有 $N_0$ 个电子开始运动，$N(t)$ 为 $t$ 时刻未被散射的电子数，则：$$\tau = \frac{1}{P} \quad \text{（平均自由时间 = 散射几率的倒数）}$$2. 迁移率与平均自由时间的关系在 $x$ 方向加电场，对电子进行统计平均，得平均漂移速度：$$\bar{v}_d = \frac{q\tau}{m^*} E$$因此：$$\mu = \frac{q\tau}{m^*}$$电子迁移率：$\mu_n = \dfrac{q\tau_n}{m_n^*}$空穴迁移率：$\mu_p = \dfrac{q\tau_p}{m_p^*}$结论：$\tau$ 越大（散射越弱），$m^*$ 越小，迁移率越大。电导有效质量（以Si为例）：Si导带有6个旋转椭球形等能面，横向有效质量 $m_t = 0.19 m_0$，纵向 $m_l = 0.98 m_0$，电导有效质量：$$\frac{1}{m_c} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{m_l} + \frac{2}{m_t}\right) \Rightarrow m_c = 0.26 m_0$$3. 多种散射机构共存时的迁移率迁移率随温度及散射机构的变化规律总散射几率为各机构之和：$$P = P_1 + P_2 + \cdots$$总迁移率（Matthiessen 规则）：$$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2} + \cdots$$物理含义：迁移率由散射最强（$\tau$ 最小）的机构决定。各散射机构对迁移率的温度依赖性：散射机构$\mu$ 与 $T$ 的关系声学波散射$\mu \propto T^{-3/2}$（T升高，散射增强，μ减小）电离杂质散射$\mu \propto T^{3/2}/N_i$（T升高，载流子速度快，μ增大）光学波散射低温不起作用，高温才显著4. 迁移率与掺杂浓度、温度的综合规律迁移率与杂质浓度的关系温度变化，不同浓度下的行为：低掺杂（$N_i = 10^{13} \sim 10^{17}$ cm⁻³）：以声学波散射为主，$T$ 升高 → $\mu$ 下降中掺杂（$N_i \sim 10^{18}$ cm⁻³）：两者共同作用，$\mu$ 下降趋势减缓高掺杂（$N_i \sim 10^{19}$ cm⁻³）：低温以电离杂质散射为主，$\mu$ 先升（T升高时杂质散射减弱）再降（晶格散射主导）杂质浓度升高，$\mu$ 单调下降（300K）补偿半导体：载流子浓度由 $|N_D - N_A|$ 决定，但迁移率由 $N_D + N_A$ 决定（总电离杂质浓度）。少子与多子迁移率（以 Si 为例）：低掺杂时，少子和多子的迁移率趋近相同（电子 ~1330 cm²/V·s，空穴 ~495 cm²/V·s）掺杂浓度升高，少子和多子迁移率均下降，但少子迁移率高于多子迁移率（因为多子所处背景中电离杂质浓度更高）四、电阻率及其与杂质浓度和温度的关系1. 电阻率公式$$\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{q(n\mu_n + p\mu_p)}$$本征硅（300K）：$\rho \approx 2.3 \times 10^5\ \Omega\cdot\text{cm}$本征锗（300K）：$\rho \approx 47\ \Omega\cdot\text{cm}$2. 电阻率与杂质浓度的关系（300K）轻掺杂（$N_i = 10^{16} \sim 10^{18}$ cm⁻³）：室温下杂质全部电离，$\mu$ 随 $N_i$ 变化不大，杂质浓度升高 → 载流子增多 → $\rho$ 近似与 $N_i$ 成反比重掺杂（$N_i > 10^{19}$ cm⁻³）：① 杂质不能全部电离；② $\mu$ 随 $N_i$ 升高而显著下降 → $\rho$ 偏离简单线性规律3. 电阻率随温度的变化掺杂半导体电阻率随温度的变化本征半导体：$T$ 升高 → $n_i$ 指数增大（主控）→ $\rho$ 减小，负温度系数（NTC）掺杂半导体（以 n 型为例，分三段）：ρ | B──────C | / \ | A D └─────────────────── T温区物理机制ρ 变化AB段（低温）杂质未全部电离，$T$↑ → 载流子增多 + 电离杂质散射减弱，$\mu$↑$\rho$ 减小BC段（中温，杂质饱和区）杂质全部电离，载流子浓度不变；$T$↑ → 晶格散射增强，$\mu$↓$\rho$ 增大CD段（高温，本征激发）本征激发主导，载流子浓度快速增大，远超 $\mu$ 下降的影响$\rho$ 减小应用意义：BC 段类似于金属的正温度系数特性；半导体器件工作温区应避开 CD 段（本征激发导致失控）。五、强电场下的效应——热载流子漂移速度与电场强度的关系1. 欧姆定律的偏离弱场（$E < 10^3$ V/cm）：$\bar{v}_d \propto E$，$\mu$ 为常数，满足欧姆定律强场（$E > 10^3$ V/cm）：$J$ 与 $E$ 不成正比，$\mu$ 不再是常数（载流子浓度基本不变，是 $\mu$ 发生变化）饱和漂移速度：$E$ 很强时，$\bar{v}_d$ 趋于饱和值 $v_{sat}$（Si：~$10^7$ cm/s；Ge：~$5 \times 10^6$ cm/s），继续增大电场只是加热晶格，不再增加漂移速度2. 热载流子能量交换过程：电场强度载流子行为无电场与晶格热平衡，吸收声子 = 发射声子弱电场从电场获取少量能量，通过发射声子传给晶格强电场从电场获取大量能量，载流子平均能量 > 晶格能量热载流子：强场下载流子平均能量远高于晶格热能，引入等效温度 $T_e > T$（晶格温度）来描述。迁移率降低的解释：$$\mu \propto \tau \propto T_e^{-3/2}$$$T_e$ 升高 → 等效于更高温度 → $\mu$ 减小 → $\bar{v}_d$ 趋向饱和六、多能谷散射与耿氏效应GaAs中电子漂移速度与电场关系1. GaAs 能带结构GaAs 导带有两个重要极值（双能谷模型）：能谷位置有效质量迁移率能谷1（主谷）布里渊区中心 $\Gamma$ 点$0.067 m_0$$\mu_1 \approx 6000 \sim 8000$ cm²/V·s能谷2（卫星谷）[111] 方向边界 $L$ 点$0.55 m_0$，比主谷高 0.29 eV$\mu_2 \approx 920$ cm²/V·s2. 负微分迁移率（NDM）平均迁移率：$$\bar{\mu} = \frac{n_1\mu_1 + n_2\mu_2}{n_1 + n_2}$$弱场下，电子全在能谷1，$\bar{\mu} = \mu_1$，迁移率高；当 $E > E_T = 3.2 \times 10^3$ V/cm（阈值电场）时，能谷1的电子获得足够能量跃迁到能谷2（$m^*$ 大、$\mu$ 小）→ $\bar{\mu}$ 下降 → 出现负微分电导/负微分迁移率注意：这与热载流子机制不同，这里是载流子在 $k$ 空间发生了能谷间的重新分布。耿氏效应中高场畴的形成3. 高场畴与耿氏振荡耿氏效应（1963年发现）：n-GaAs 两端加 $E > 3000$ V/cm 时，电流发生 GHz 量级的周期性振荡（0.47 ~ 6.5 GHz）。高场畴的形成与传播机制：材料局部存在掺杂不均匀区 A，A 处电阻高 → 电场大 → 进入负微分电导区A 外电场小，载流子漂移速度快；A 内电场大，但因负微分电导，漂移速度反而慢电子在 A 面向阳极一侧耗尽（正电荷），面向阴极一侧积累（负电荷）→ 形成空间电荷偶极层（偶极畴）偶极畴内部电场与外场同向，畴内电场进一步升高（高场畴），畴外电场降低偶极畴在达到稳态后以恒定速度 $v_d$ 向阳极漂移，到达阳极后消失畴消失 → 体内电场恢复 → 新畴在阴极附近重新形成 → 周而复始 → 电流周期性振荡振荡频率：$f = v_d / L$（$L$ 为样品长度）应用：GaAs 耿氏器件（转移电子器件）广泛用于微波振荡器；其他可产生振荡的材料有 n-InP、CdTe、InAs、n-Ge 等。章节总结框图载流子输运 │ ├── 漂移运动 → μ = qτ/m* → σ = q(nμn + pμp) │ ├── 散射机构 │ ├── 电离杂质散射：Pi ∝ Ni/T^(3/2) → μi ∝ T^(3/2)/Ni │ └── 晶格振动散射：PA ∝ T → μA ∝ T^(-3/2) │ ├── 电阻率 ρ = 1/σ │ ├── 与Ni的关系：Ni↑ → ρ↓（轻掺杂） │ └── 与T的关系：三段式（低温↓，中温↑，高温↓） │ └── 强场效应 ├── 热载流子：Te > T → μ下降 → vd饱和 └── 多能谷散射（GaAs）：谷间转移 → 负微分电导 → 耿氏振荡
状态密度能量状态密度的定义定义： 在能带中，能量 $E$ 附近单位能量间隔内、单位体积半导体中所允许的量子态数，记作 $g(E)$。物理意义： 描述量子态按能量分布的密集程度。它是能量的连续函数，决定了能带中特定能量水平上“能容纳电子的位置数目”。状态密度的推导过程状态密度的推导需要从动量空间（k空间）的量子态分布出发，并结合能带结构的 $E(\mathbf{k})$ 关系。1. k 空间量子态分布根据量子力学的周期性边界条件，晶体中电子的波矢 $\mathbf{k}$ 不能连续取值，而是分立的。对于体积为 $V = L^3$ 的立方体晶体：允许的波矢分量为：$k_x = n_x\frac{2\pi}{L}, k_y = n_y\frac{2\pi}{L}, k_z = n_z\frac{2\pi}{L}$（$n_x, n_y, n_z$ 为整数）。在 k 空间中，每一个量子态占据的体积为 $(\frac{2\pi}{L})^3 = \frac{8\pi^3}{V}$。考虑泡利不相容原理，每个允许的 $\mathbf{k}$ 状态可以容纳自旋相反的两个电子。因此，k 空间单位体积内的量子态数为：$\frac{2}{8\pi^3 / V} = \frac{V}{4\pi^3}$。结论：k 空间中的量子态是均匀分布的。2. 从 k 空间到能量 E 空间的转换为了求 $g(E)$，我们需要计算能量在 $E$ 到 $E+dE$ 之间的量子态数 $dZ$。在 k 空间中，能量为 $E$ 和 $E+dE$ 的等能面之间构成一个球壳（假设导带底位于 $k=0$ 且等能面为球面）。球壳在 k 空间的体积为：$d\Omega_k = 4\pi k^2 dk$。对应的量子态总数为：$dZ = \frac{V}{4\pi^3} \cdot 4\pi k^2 dk = \frac{V}{\pi^2} k^2 dk$。3. 结合能带关系求解对于导带底附近的电子，其能量与波矢的关系为有效质量近似：$$E(k) = E_c + \frac{\hbar^2 k^2}{2m_n^*}$$从中解出 $k$ 和 $dk$：$$k = \frac{\sqrt{2m_n^*(E - E_c)}}{\hbar}$$$$dE = \frac{\hbar^2 k}{m_n^*} dk \implies dk = \frac{m_n^*}{\hbar^2 k} dE$$将 $k$ 和 $dk$ 代入 $dZ$ 的表达式，并将 $\hbar = h / 2\pi$ 代入，即可得到单位体积、单位能量间隔的状态密度 $g_c(E) = \frac{1}{V} \frac{dZ}{dE}$。具体结果与状态密度有效质量状态密度分布1. 导带底附近状态密度对于等能面为球面（如 GaAs）的情况，推导结果为：$$g_c(E) = \frac{4\pi (2m_{dn}^*)^{3/2}}{h^3} \sqrt{E - E_c}, \quad (E > E_c)$$对于等能面为旋转椭球面（如 Si、Ge，极值不在 $k=0$）的情况，引入电子状态密度有效质量 $m_{dn}$ 替代上式中的 $m_n^*$：$$m_{dn} = s^{2/3}(m_t^2 m_l)^{1/3}$$其中 $s$ 为导带底等价极值点数，$m_t$、$m_l$ 分别为横向和纵向有效质量。2. 价带顶附近状态密度由于价带顶存在重空穴带和轻空穴带的简并，需要将两者的状态密度相加。引入空穴状态密度有效质量 $m_{dp}$：$$m_{dp} = \left[(m_{ph})^{3/2} + (m_{pl})^{3/2}\right]^{2/3}$$价带顶的状态密度表示为：$$g_v(E) = \frac{4\pi (2m_{dp}^*)^{3/2}}{h^3} \sqrt{E_v - E}, \quad (E < E_v)$$3. 常见半导体参数表材料$m_t$$m_l$$s$$m_{dn}$Si$0.19m_0$$0.98m_0$6$1.08m_0$Ge$0.082m_0$$1.64m_0$4$0.56m_0$GaAs$0.067m_0$$0.067m_0$1$0.067m_0$材料$m_{pl}$$m_{ph}$$m_{dp}$Si$0.16m_0$$0.53m_0$$0.59m_0$Ge$0.044m_0$$0.36m_0$$0.37m_0$GaAs$0.082m_0$$0.45m_0$$0.47m_0$费米能级和载流子的统计分布费米-狄拉克分布函数热平衡状态下，服从泡利不相容原理的电子在各个能量状态上的统计分布概率由费米-狄拉克函数决定：$$f(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\dfrac{E - E_F}{k_0 T}\right)}$$表示能量为 $E$ 的量子态被电子占据的概率。费米狄拉克分布费米能级 $E_F$ 的物理意义与性质：热力学上，$E_F$ 是系统的化学势（恒温恒压下增加一个电子引起的吉布斯自由能变化）。$E_F$ 标志着电子填充能级的水平。当 $E = E_F$ 时，$f(E_F) = 1/2$。热平衡时，整个半导体系统只有一个统一的费米能级。绝对零度 ($T = 0 \text{K}$) 时，$f(E)$ 是一个阶跃函数：$E < E_F$ 的态被电子完全填满，$E > E_F$ 的态完全空着。当温度升高时，分布在 $E_F$ 附近约 $\pm 2k_0T$ 的范围内从 1 平滑过渡到 0。玻尔兹曼近似（非简并情况）当能级能量远高于费米能级，即 $E - E_F \gg k_0T$ 时，分布函数分母中的指数项远大于1，此时1可以忽略不计：$$f(E) \approx \exp\left(-\frac{E - E_F}{k_0 T}\right)$$这称为玻尔兹曼分布。适用此近似的半导体称为非简并半导体（即费米能级位于禁带中，且距离导带底和价带顶均大于 $2k_0T \sim 3k_0T$）。空穴占据概率：价带中某能级被空穴占据的概率等于该能级未被电子占据的概率：$$f_p(E) = 1 - f(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\dfrac{E_F - E}{k_0 T}\right)}$$当 $E_F - E \gg k_0T$ 时，同样可简化为空穴的玻尔兹曼分布：$f_p(E) \approx \exp\left(-\frac{E_F - E}{k_0 T}\right)$。非简并半导体的载流子浓度推导1. 导带电子浓度 $n_0$电子浓度等于状态密度与占据概率的乘积在整个导带上的积分：$$n_0 = \int_{E_c}^{\infty} g_c(E) f(E) dE$$代入 $g_c(E)$ 和玻尔兹曼近似的 $f(E)$：$$n_0 = \int_{E_c}^{\infty} \frac{4\pi (2m_{dn}^*)^{3/2}}{h^3} \sqrt{E - E_c} \exp\left(-\frac{E - E_F}{k_0 T}\right) dE$$提取常数，并令 $x = \frac{E - E_c}{k_0 T}$，则 $dE = k_0 T dx$：$$n_0 = \frac{4\pi (2m_{dn}^* k_0 T)^{3/2}}{h^3} \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{k_0 T}\right) \int_0^{\infty} \sqrt{x} e^{-x} dx$$利用伽马函数积分 $\int_0^{\infty} x^{1/2} e^{-x} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，得到最终结果：$$n_0 = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{k_0 T}\right)$$其中 $N_c = 2\left(\frac{2\pi m_{dn}^* k_0 T}{h^2}\right)^{3/2}$ 称为导带有效状态密度。2. 价带空穴浓度 $p_0$同理，积分 $p_0 = \int_{-\infty}^{E_v} g_v(E) f_p(E) dE$，可得：$$p_0 = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{k_0 T}\right)$$其中 $N_v = 2\left(\frac{2\pi m_{dp}^* k_0 T}{h^2}\right)^{3/2}$ 称为价带有效状态密度。3. 载流子浓度乘积（质量作用定律）将 $n_0$ 与 $p_0$ 相乘：$$n_0 p_0 = N_c N_v \exp\left(-\frac{E_c - E_v}{k_0 T}\right) = N_c N_v \exp\left(-\frac{E_g}{k_0 T}\right) = n_i^2$$此乘积只与温度和材料的禁带宽度有关，与费米能级位置无关，与杂质掺杂浓度无关。该定律适用于所有热平衡下的非简并半导体。本征半导体的载流子浓度本征费米能级的推导本征半导体未掺杂杂质，载流子全部来自于本征激发，产生电子-空穴对。因此其核心特征为电中性条件：$$n_0 = p_0$$将非简并载流子浓度公式代入上式：$$N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_i}{k_0 T}\right) = N_v \exp\left(-\frac{E_i - E_v}{k_0 T}\right)$$（注：将本征情况下的费米能级记作 $E_i$）两边取自然对数并重新排列，解出 $E_i$：$$\frac{2E_i}{k_0 T} = \frac{E_c + E_v}{k_0 T} + \ln\left(\frac{N_v}{N_c}\right)$$$$E_i = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{1}{2} k_0 T \ln\left(\frac{N_v}{N_c}\right)$$代入 $N_c$ 和 $N_v$ 的表达式：$$E_i = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3}{4} k_0 T \ln\left(\frac{m_{dp}^*}{m_{dn}^*}\right)$$结论：本征费米能级 $E_i$ 位于禁带中线附近。如果电子和空穴有效质量相等，则 $E_i$ 严格位于禁带中央。温度变化引起的 $E_i$ 偏移量很小。本征载流子浓度本征半导体载流子分布因为 $n_i^2 = n_0 p_0$，本征载流子浓度为：$$n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2k_0 T}\right)$$将其展开并提取温度相关项：$$n_i = 2\left(\frac{2\pi k_0}{h^2}\right)^{3/2} (m_{dn}^* m_{dp}^*)^{3/4} T^{3/2} \exp\left(-\frac{E_g}{2k_0 T}\right)$$可见，温度越高、$E_g$ 越小，则本征载流子浓度越大。指数项对 $n_i$ 的影响占据主导地位。最高工作温度限制半导体器件必须在其载流子主要由杂质电离提供（即杂质半导体特性）的温度范围内工作。若温度过高，本征激发产生的 $n_i$ 急剧增加，当 $n_i$ 超过掺杂浓度时，器件特性将失控。工程上通常取 $n_i(T) < \frac{N_D}{10}$ 作为器件能正常工作的判据。不同材料在 $N_D = 5 \times 10^{15} \text{cm}^{-3}$ 时的极限工作温度：Ge ($E_g = 0.67\text{eV}$): ~370 KSi ($E_g = 1.12\text{eV}$): ~520 KGaAs ($E_g = 1.428\text{eV}$): ~720 K材料禁带越宽，其允许的最高工作温度越高，故 GaAs 更适合制作大功率、耐高温器件。杂质半导体的载流子浓度杂质能级上的载流子统计杂质能级与能带中的状态不同。能带中每个能级可容纳自旋相反的两个电子，而施主能级只能容纳一个任意自旋方向的电子（或空置），这使得杂质能级的统计分布函数必须考虑自旋简并度（因子为1/2）。施主能级被电子占据的概率 $f_D$：$$f_D = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}\exp\left(\dfrac{E_D - E_F}{k_0 T}\right)}$$电离施主浓度 $N_D^+$（即失去电子的施主浓度）：$$N_D^+ = N_D(1 - f_D) = \frac{N_D}{1 + 2\exp\left(\dfrac{E_F - E_D}{k_0 T}\right)}$$同理，受主能级被空穴占据的概率 $f_A$ 及电离受主浓度 $N_A^-$：$$f_A = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}\exp\left(\dfrac{E_F - E_A}{k_0 T}\right)}$$$$N_A^- = \frac{N_A}{1 + 2\exp\left(\dfrac{E_A - E_F}{k_0 T}\right)}$$n 型半导体载流子浓度推导考虑只含有施主杂质（浓度为 $N_D$）的 n 型半导体。由电中性条件：$$n_0 = N_D^+ + p_0$$（即系统总负电荷等于总正电荷）随着温度从绝对零度逐渐升高，载流子浓度和费米能级会经历不同的区域：1. 低温弱电离区n型非简并半导体载流子分布温度很低时，本征激发可忽略 ($p_0 \approx 0$)，且大部分施主未电离 ($n_0 \ll N_D$)。此时电中性条件变为：$n_0 \approx N_D^+$。代入非简并 $n_0$ 公式和近似的 $N_D^+$ 公式（假设 $E_F > E_D$，分母中指数项占优）：$$N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{k_0 T}\right) \approx \frac{N_D}{2\exp\left(\dfrac{E_F - E_D}{k_0 T}\right)}$$两边整理，解出 $E_F$：$$E_F = \frac{E_c + E_D}{2} + \frac{1}{2} k_0 T \ln\left(\frac{N_D}{2N_c}\right)$$将 $E_F$ 代回 $n_0$ 表达式得到：$$n_0 = \sqrt{\frac{N_c N_D}{2}} \exp\left(-\frac{\Delta E_D}{2k_0 T}\right)$$其中 $\Delta E_D = E_c - E_D$ 为施主电离能。若实验测得 $\ln n_0$ 随 $1/T$ 的关系曲线，其斜率即为 $-\Delta E_D / 2k_0$，由此可测定电离能。2. 饱和电离区（强电离区）温度继续升高，施主杂质几乎全部电离，但此时本征激发仍然微弱 ($p_0$ 仍可忽略)。此时：$N_D^+ \approx N_D$，且 $n_0 \approx N_D$。因为 $n_0 = N_D$，代入 $n_0$ 的公式可求得费米能级：$$N_D = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{k_0 T}\right) \implies E_F = E_c - k_0 T \ln\left(\frac{N_c}{N_D}\right)$$这是半导体器件最主要的工作温区。掺杂浓度 $N_D$ 越大，$E_F$ 越靠近导带底 $E_c$。3. 强本征激发区温度非常高时，本征激发的电子浓度远远超过施主浓度 ($n_i \gg N_D$)。此时电中性条件退化为 $n_0 \approx p_0 \approx n_i$，半导体呈现本征特性，费米能级趋近于 $E_i$。载流子浓度随温度变化p 型半导体情况完全对称于 n 型半导体，在饱和电离区：$$p_0 = N_A, \quad n_0 = \frac{n_i^2}{N_A}$$$$E_F = E_v + k_0 T \ln\left(\frac{N_v}{N_A}\right)$$一般情况下的载流子统计分布（补偿半导体）实际的半导体单晶中往往同时存在施主和受主杂质，此时会发生补偿效应（施主提供的电子优先落入受主的空能级中抵消）。普遍的电中性条件在一般情况下，满足：$$n_0 + N_A^- = p_0 + N_D^+$$（导带电子 + 电离受主 = 价带空穴 + 电离施主）补偿 n 型半导体（$N_D > N_A$）的推导在饱和电离区，假设所有杂质全部电离，即 $N_D^+ = N_D$，且 $N_A^- = N_A$。电中性条件变为：$$n_0 + N_A = p_0 + N_D \implies n_0 - p_0 = N_D - N_A$$由质量作用定律 $p_0 = n_i^2 / n_0$，代入上式得到一元二次方程：$$n_0 - \frac{n_i^2}{n_0} = N_D - N_A \implies n_0^2 - (N_D - N_A)n_0 - n_i^2 = 0$$解该方程（取正根）：$$n_0 = \frac{N_D - N_A}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_D - N_A}{2}\right)^2 + n_i^2}$$由于在正常工作温度下，处于饱和电离区且未进入本征区，满足 $(N_D - N_A) \gg n_i$，因此可以近似：$$n_0 \approx N_D - N_A, \quad p_0 \approx \frac{n_i^2}{N_D - N_A}$$补偿效应使得有效掺杂浓度变为 $N_D - N_A$。对于补偿 p 型半导体（$N_A > N_D$），同理可得：$$p_0 \approx N_A - N_D, \quad n_0 \approx \frac{n_i^2}{N_A - N_D}$$费米能级位置规律总结费米能级随温度变化曲线随掺杂浓度的变化：受主浓度 $N_A$ 升高，费米能级 $E_F$ 向下移动，靠近价带顶 $E_v$。施主浓度 $N_D$ 升高，费米能级 $E_F$ 向上移动，靠近导带底 $E_c$。随温度的变化：无论 n 型还是 p 型，温度升高最终都会使本征激发占优，导致 $E_F$ 向本征费米能级 $E_i$（禁带中线）移动。掺杂浓度越低，费米能级随温度变化向中线靠拢得越快；重掺杂可以使器件在更宽的温度范围内保持杂质导电的稳定特性。少数载流子在处于外加电场或温度梯度下时，少数载流子决定了许多关键的器件物理过程（如反向漏电流）。n 型半导体的少子（空穴）：$p_0 = n_i^2 / N_D \propto \exp(-E_g / k_0 T)$。p 型半导体的少子（电子）：$n_0 = n_i^2 / N_A \propto \exp(-E_g / k_0 T)$。由于 $n_i^2$ 包含 $\exp(-E_g/k_0T)$ 项，少子浓度对温度的变化极其敏感，这是半导体器件存在高温极限的根本原因。简并半导体简并状态的产生简并半导体载流子分布当杂质掺杂浓度极高（通常超过 $10^{19} \text{cm}^{-3}$）时：杂质能级分裂成杂质能带，并与导带底（或价带顶）重叠，导致有效禁带宽度变窄。费米能级 $E_F$ 进入导带内部（n型）或价带内部（p型）。此时 $E_c - E_F < 0$，不再满足 $E_c - E_F \gg k_0 T$ 的条件，玻尔兹曼近似失效。必须使用完整的费米-狄拉克分布进行计算，这类半导体被称为简并半导体。简并半导体的载流子浓度推导以 n 型简并半导体为例，回到最基础的积分公式：$$n_0 = \int_{E_c}^{\infty} g_c(E) f(E) dE$$代入 $g_c(E)$ 和未近似的 $f(E)$：$$n_0 = \int_{E_c}^{\infty} \frac{4\pi(2m_{dn}^*)^{3/2}}{h^3} \sqrt{E - E_c} \frac{1}{1 + \exp\left(\dfrac{E - E_F}{k_0 T}\right)} dE$$提取常数，并做变量代换。令积分变量 $x = \frac{E - E_c}{k_0 T}$，并定义参数 $\xi = \frac{E_F - E_c}{k_0 T}$：$$n_0 = \frac{4\pi(2m_{dn}^* k_0 T)^{3/2}}{h^3} \int_0^{\infty} \frac{x^{1/2}}{1 + \exp(x - \xi)} dx$$前面系数刚好是 $N_c \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}$，后面部分被定义为费米-狄拉克积分 $F_{1/2}(\xi)$：$$n_0 = N_c \frac{2}{\sqrt{\pi}} F_{1/2}(\xi)$$其中费米积分 $F_{1/2}(\xi) = \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{1 + e^{x - \xi}} dx$ 无法解析求解，需通过数值计算或查表获得。（注：当非简并时 $\xi \ll -2$，$F_{1/2}(\xi) \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{\xi}$，公式即可退化回 $n_0 = N_c \exp(\xi)$。）简并化条件与临界浓度以 $\xi = (E_F - E_c)/k_0 T$ 来划分简并程度：非简并： $\xi < -2$ （即 $E_c - E_F > 2k_0T$）。弱简并： $-2 \leq \xi < 0$ （$E_F$ 在导带底之下，但不满足远大于的条件）。强简并： $\xi \geq 0$ （$E_F$ 已经进入导带内部）。发生简并的临界浓度（以 $E_F = E_c$，即 $\xi = 0$ 为界）：$$N_D^* = n_0(\xi = 0) = N_c \frac{2}{\sqrt{\pi}} F_{1/2}(0)$$查表可知 $F_{1/2}(0) \approx 0.678$ 或直接用近似级数展开求得 $N_D^* \approx 0.76 N_c$（注：不同教材近似值略有不同，部分取 $0.44 N_c$，本质都是与 $N_c$ 处于同一数量级）。当杂质浓度大于该临界值时，半导体即发生简并化。简并半导体的物理特性与非简并半导体相比，简并半导体具有以下特殊表现：质量作用定律失效：由于载流子不再服从玻尔兹曼分布，乘积 $n_0 p_0$ 变得非常复杂，不再等于 $n_i^2$。杂质电离不完全：费米能级进入能带后，高于（或低于）杂质能级的位置充满了载流子，大量杂质能级仍被电子占据，使得即使在室温下，杂质也无法做到100%电离。禁带变窄效应：高掺杂导致杂质离子产生强大的局部电场，库仑排斥和交换相互作用使得电子波函数交叠，导带底向下延伸，价带顶向上延伸，宏观上表现为光学禁带宽度 $E_g$ 的减小。电导率极高：因为载流子浓度不受温度的显著影响（一直处于类似于饱和电离的状态），呈现出类似金属的导电特性。通常用于制造隧道二极管、半导体激光器和集成电路中的欧姆接触区域。
半导体中的杂质、缺陷及其能级课程笔记
杂质能级杂质的存在形式与分类在实际半导体材料中，不可避免地存在杂质原子。这些杂质破坏了晶体的周期性势场，在禁带中引入局域化的电子态，即杂质能级，从而显著影响半导体的电学性质。根据杂质原子在晶格中的位置，可分为两类：替位式杂质：杂质原子取代主晶格原子位于格点上。这类杂质通常与主晶格原子尺寸相近、价电子结构相似，如Ⅲ族（B, Al, Ga, In）和Ⅴ族（P, As, Sb）元素掺入Si或Ge中。间隙式杂质：杂质原子位于晶格原子之间的间隙位置。这类杂质一般原子半径较小，例如Li⁺离子（半径约0.068 nm）可进入Si晶格间隙。图1 半导体中的杂质能级杂质浓度定义为单位体积内的杂质原子数，常用符号 $N_D$（施主浓度）和 $N_A$（受主浓度）表示，单位为 cm⁻³。施主杂质、施主能级与n型半导体当Ⅴ族元素（如P、As、Sb）掺入Si或Ge等Ⅳ族半导体时，形成替位式杂质。由于Ⅴ族原子有5个价电子，其中4个与周围Si原子形成共价键，多余的一个价电子仅被弱束缚于正电中心（如P⁺）周围，处于束缚态。图2 半导体中的施主原子该电子只需吸收少量能量（远小于禁带宽度 $E_g$），即可挣脱束缚跃迁至导带，成为参与导电的自由电子。这一过程称为施主电离，其反应可表示为：$$ \text{P} \rightarrow \text{P}^+ + e^- $$电离后，施主原子成为不能移动的正电中心（电离施主），而电子进入导带。在能带图中，这种杂质在禁带中引入一个靠近导带底 $E_C$ 的能级，称为施主能级，记作 $E_D$。施主电离能 $\Delta E_D$ 定义为将束缚电子激发到导带所需的最小能量，满足：$$ \Delta E_D = E_C - E_D $$主要依靠此类电子导电的半导体称为n型半导体。受主杂质、受主能级与p型半导体当Ⅲ族元素（如B、Al、Ga、In）掺入Si或Ge时，也形成替位式杂质。由于Ⅲ族原子仅有3个价电子，与周围4个Si原子成键时缺少一个电子，倾向于从邻近共价键夺取一个电子，从而在价带中产生一个空穴。图3 半导体中的受主原子该空穴被负电中心（如B⁻）弱束缚，少量热能即可使其脱离束缚进入价带，成为导电空穴。此过程称为受主电离，反应式为：$$ \text{B} + h^+ \rightarrow \text{B}^- $$电离后，受主原子成为固定的负电中心（电离受主），而空穴进入价带。在能带图中，受主杂质在禁带中引入一个靠近价带顶 $E_V$ 的能级，称为受主能级，记作 $E_A$。受主电离能 $\Delta E_A$ 是将价带电子激发至受主能级所需能量，满足：$$ \Delta E_A = E_A - E_V $$主要依靠空穴导电的半导体称为p型半导体。浅能级杂质电离能的计算：类氢模型对于Ⅲ、Ⅴ族掺杂Si、Ge形成的施主或受主能级，其电离能远小于禁带宽度（通常 < 0.1 eV），被称为浅能级杂质。其束缚态行为类似于氢原子系统，可用类氢模型估算电离能。氢原子基态电离能为：$$ \Delta E_0 = \frac{m_0 q^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} = 13.6\,\text{eV} $$在半导体环境中需进行两项修正：有效质量修正：电子在周期性晶格中运动，其惯性质量由自由电子质量 $m_0$ 替换为导带电子有效质量 $m_n^*$（施主）或价带空穴有效质量 $m_p^*$（受主）。介电常数修正：由于半导体介质极化，库仑作用减弱，真空介电常数 $\varepsilon_0$ 被替换为 $\varepsilon_0 \varepsilon_r$，其中 $\varepsilon_r$ 为相对介电常数。综合上述修正，施主杂质电离能为：$$ \Delta E_D = \frac{m_n^*}{m_0} \cdot \frac{13.6}{\varepsilon_r^2}\,\text{eV} $$受主杂质电离能为：$$ \Delta E_A = \frac{m_p^*}{m_0} \cdot \frac{13.6}{\varepsilon_r^2}\,\text{eV} $$以Si中磷（P）为例，$\varepsilon_r = 11.9$，$m_n^* \approx 0.26 m_0$，代入得：$$ \Delta E_D \approx \frac{0.26}{1} \cdot \frac{13.6}{(11.9)^2} \approx 0.025\,\text{eV} $$与实验值0.044 eV数量级一致，表明类氢模型是合理的近似。深能级杂质非Ⅲ、Ⅴ族元素（如过渡金属Au、Cu、Ni等）掺入Si或Ge中，会引入远离带边的能级，称为深能级杂质。其特点包括：电离能大：$\Delta E_D$ 或 $\Delta E_A$ 接近 $E_g/2$，常温下难以完全电离。多重电离：同一杂质可多次电离，引入多个能级。例如，金（Au）在Ge中有3个受主能级和1个施主能级。强复合中心：对载流子浓度贡献小，但作为有效的复合中心，显著降低非平衡载流子寿命。应用：在高速开关器件中掺金，利用其强复合能力提高响应速度。杂质补偿作用当半导体中同时存在施主杂质（浓度 $N_D$）和受主杂质（浓度 $N_A$）时，会发生相互抵消现象，称为杂质补偿。具体机制如下：若 $N_D > N_A$：施主提供的电子首先填充受主能级，剩余 $N_D - N_A$ 个电子进入导带，有效施主浓度为 $N_D - N_A$。若 $N_A > N_D$：受主能级吸收所有施主电子后，仍可接受价带电子，有效受主浓度为 $N_A - N_D$。若 $N_D \approx N_A$：几乎无自由载流子，称为高度补偿。此时载流子浓度极低，易被误判为高纯半导体，但晶格中含有大量电离杂质，迁移率低，不适合器件制造.缺陷及其能级点缺陷的类型与能级行为实际晶体中因热振动等因素存在各种结构性缺陷，破坏周期性势场，引入附加能级。常见点缺陷包括：弗仑克耳缺陷：间隙原子与空位成对出现。间隙原子有多余价电子，表现为施主作用。空位有未饱和共价键，倾向于接受电子，表现为受主作用。肖特基缺陷：仅存在空位，无间隙原子。在Si、Ge中，空位起受主作用。化学计量比偏离：在化合物半导体如GaAs中，若Ga过量则形成As空位，As过量则形成Ga空位。实验测得两者均表现为受主作用。替位原子（反结构缺陷）：在AB型化合物中，A原子占据B位（AB）或B原子占据A位（BA）。AB型杂质多出一个价电子，倾向于释放电子，表现为施主作用。BA型杂质缺少一个价电子，倾向于接受电子，表现为受主作用。位错（线缺陷）及其能级位错是晶体中沿某一方向发生滑移的线缺陷，主要有刃型和螺型两种。位错线上存在悬挂键（不饱和共价键），可俘获或释放电子：若俘获电子，成为负电中心，表现为受主作用（串受主）。若释放电子，成为正电中心，表现为施主作用（串施主）。此外，晶格畸变导致局部禁带宽度变化：在伸张区，原子间距增大，禁带宽度 $E_g$ 减小。在压缩区，原子间距减小，$E_g$ 增加。图4 线缺陷位错因此，位错可形成一维连续能级，影响载流子输运与复合，对器件性能有显著影响。
从半导体的晶格结构到能带工程课程笔记
半导体晶体结构与键合特性半导体的物理性质与其原子排列方式密切相关。在宏观上，固体可分为非晶、多晶和单晶三类，其中单晶材料因其高度有序的周期性结构，在电子器件中应用最为广泛。半导体材料如硅（Si）、锗（Ge）和砷化镓（GaAs）均为典型的单晶体，其电学特性直接由晶格结构与原子间的结合性质决定。金刚石结构与闪锌矿结构，闪锌矿结构与金刚石结构的不同在于，闪锌矿结构的两个不同的原子位上是不同的原子而金刚石结构的两个不同的原子位上都是相同的原子。常见的半导体晶体结构主要包括以下四种类型：金刚石结构：适用于第ⅣA族元素半导体，如硅和锗。每个原子通过共价键与周围四个原子形成正四面体结构，键角为109°28′。该结构可视为两个面心立方晶胞沿空间对角线方向相互位移1/4长度套构而成。闪锌矿结构：典型代表为Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体砷化镓（GaAs）。其结构与金刚石类似，但由两种不同原子构成，具有部分离子键成分，表现出混合键合特性。纤锌矿结构：存在于某些Ⅱ-Ⅵ族化合物中，如硫化镉（CdS）和硫化锌（ZnS），具有六方对称性，同样由两类原子交替排列形成四面体配位。氯化钠型结构：见于一些Ⅳ-Ⅵ族化合物，如硫化铅（PbS），由两套面心立方晶格沿边长方向平移1/2长度构成，主要以离子键结合。为了精确描述晶体中的方向与平面，引入了晶向指数（如[100]、[110]、[111]）和晶面指数（如(100)、(110)、(111)），这些符号在分析能带极值位置和载流子输运行为时至关重要。下表总结了几种典型半导体的晶格参数：结构类型代表材料晶格常数 a (nm)原子密度 (个/cm³)原子间最短距离 (nm)共价半径 (nm)金刚石硅0.5430895.00×10²²0.2350.117金刚石锗—4.42×10²³—0.122值得注意的是，硅和锗的结晶学原胞包含8个原子，体现了其复杂的复式格子特征。这种周期性排列不仅决定了材料的机械与热学性能，更为后续电子在周期性势场中的运动奠定了基础。周期性势场中的电子状态与能带形成在孤立原子中，电子受原子核势场作用，只能占据分立的能级，如主量子数 $n$ 和角量子数 $l$ 所描述的 K、L、M 壳层。然而，当大量原子周期性排列形成晶体时，相邻原子间的距离缩短至几埃量级，其外层电子壳层发生显著交叠，导致原本孤立的能级发生分裂与展宽，最终形成能带。这一过程的核心是电子的共有化运动：由于波函数重叠，价电子不再局限于单个原子，而是在整个晶格中巡游，成为“共有电子”。随着原子数目 $N$ 增大，每个原子能级分裂为 $N$ 个极其密集的子能级，宏观上表现为连续的能量区域——即允带。允带之间被禁止电子存在的能量间隙隔开，称为禁带。能带的形成过程示意图。描述晶体中电子状态的基础是求解周期性势场下的薛定谔方程：$$ - \frac{\hbar^{2}}{2 m_{0}} \frac{d^{2} \psi (x)}{d x^{2}} + V(x) \psi(x) = E \psi(x) $$其中 $V(x)$ 是与晶格周期相同的周期性势场。在此框架下，采用绝热近似（固定原子核）和单电子近似（考虑平均势场），可得电子波函数满足布洛赫定理：$$ \psi_{k}(x) = u_{k}(x) e^{i k x}, \quad u_{k}(x + a) = u_{k}(x) $$该波函数是一个振幅按晶格周期 $a$ 调制的平面波，体现了电子在周期结构中的传播特性。在 $k$ 空间中，能量 $E(k)$ 的关系呈现出周期性与不连续性。允带出现在特定的布里渊区内，而禁带则位于布里渊区边界 $k = n\pi/a$ 处。例如，第一布里渊区为 $-\pi/a < k < \pi/a$。考虑到实际晶体中波矢 $k$ 的量子化条件，$k$ 空间中的允许态是离散的。为了简化能带图示，通常采用简约布里渊区方案，将高阶布里渊区的 $E-k$ 曲线平移至第一布里渊区内，使 $E$ 成为 $k$ 的多值函数。这不仅压缩了展示空间，也突出了能带极值（如导带底、价带顶）的关键位置。不同的能带结构示意图。不同材料的能带结构决定了其导电性质：金属：能带部分填充或存在重叠，无禁带，电子易于激发，导电性好。绝缘体：禁带宽度大（如 $\text{SiO}_2$ 达 8 eV），价带满而导带空，电子难以跃迁，导电性差。半导体：禁带较窄（如硅为 1.1 eV），在热或光激发下，价带电子可跃迁至导带，同时在价带留下可参与导电的空穴，从而实现可控导电。能带极值附近的电子动力学：有效质量理论在半导体中，载流子（电子和空穴）在外电场作用下的响应行为决定了材料的输运性质。为了描述这一过程，必须研究能带极值附近电子的动力学特性。由于晶体内部存在复杂的周期性势场，电子的运动不能简单地用自由电子模型来描述。为此，引入了有效质量（$m^*$）的概念，它概括了晶格周期势场对电子运动的影响，使得在外力作用下，电子的行为形式上仍遵循牛顿第二定律 $f = m^* a$。在能带底或能带顶附近，能量 $E(k)$ 与波矢 $k$ 的关系可通过泰勒级数展开近似为抛物线形式。对于位于 $k=0$ 处的能带极值，取至二次项有：$$ E(k) - E(0) = \frac{1}{2} \left( \frac{d^2E}{dk^2} \right)_{k=0} k^2 $$结合自由电子能量表达式 $E = \hbar^2 k^2 / (2m_0)$，可定义有效质量为：$$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \left( \frac{d^2E}{dk^2} \right)_{k=0} $$该表达式表明，有效质量由能带 $E(k)$ 曲线在极值点处的二阶导数决定，其大小和符号直接反映了电子在周期场中的动力学行为。半导体中电子的平均速度由波函数的群速度给出，满足以下关系：$$ v = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk} $$当电子受到外力 $f$ 作用时，其加速度为：$$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{\hbar} \frac{d^2E}{dk^2} \frac{dk}{dt} = \frac{f}{m^*} $$这进一步验证了 $f = m^* a$ 的形式成立，其中 $m^*$ 即为上述定义的有效质量。有效质量的关键性质体现在其符号和数值上：在能带底（导带最小值），$d^2E/dk^2 > 0$，故 $m^* > 0$，电子具有正的有效质量。在能带顶（价带最大值），$d^2E/dk^2 < 0$，故 $m^* < 0$，电子具有负的有效质量。这一区别至关重要，它不仅影响电子的加速度方向，也为理解“空穴”作为一种带正电、具有正有效质量的准粒子提供了理论基础。下表总结了能带极值附近电子状态的核心物理量及其特征：物理量表达式能带底（导带）能带顶（价带）能量关系$E(k) - E_{ref}$$\frac{\hbar^2 k^2}{2m_n^*}$$-\frac{\hbar^2 k^2}{2 \left\vert m_p^* \right\vert}$有效质量符号$m^*$正 ($m_n^* > 0$)负 ($m_n^* < 0$)电子速度方向$v = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk}$与 $k$ 同向与 $k$ 反向加速度方向$a = f / m^*$与外力 $f$ 同向与外力 $f$ 反向本征激发与空穴导电机制在半导体物理中，本征激发是理解其导电行为的核心过程。当温度高于绝对零度（T > 0 K）时，价带中的电子获得足够的热能，能够跨越禁带跃迁至导带，从而在导带中产生一个可自由移动的导电电子，同时在价带中留下一个空缺状态。这一成对产生的电子-空穴对构成了本征半导体的载流子来源。为了简化对价带大量电子集体运动的分析，引入了“空穴”这一物理概念。它并非真实粒子，而是一种等效的准粒子模型，用于描述价带中空着的量子态。具体而言：空穴携带 +q 的正电荷，与电子电荷量相等但符号相反。其有效质量为正值，数值上等于价带顶处电子的有效质量绝对值，即 $m_p^* = |m_n^*|$。在某一波矢 $k$ 状态下的空穴，其运动速度与该 $k$ 状态下电子的速度相同。在外加电场作用下，价带中大量的电子会依次填充邻近的空位，这种集体运动的宏观效果等同于一个带正电的粒子——即空穴——沿电场方向移动，从而形成电流。因此，空穴导电的本质是价带中电子集体定向运动的等效描述。综上所述，半导体的导电机构由两种载流子共同贡献：电子：位于导带，带负电，有效质量为正。空穴：位于价带，带正电，有效质量为正。在本征半导体中，由于每一个导带电子都对应一个价带空穴，故有 电子浓度等于空穴浓度。这一对称性是分析本征半导体电学性质的基础。通过引入空穴概念，原本复杂的多电子系统问题被转化为少数载流子（电子和空穴）的输运问题，极大地简化了理论分析。典型半导体材料的能带结构特征半导体的宏观电学性质由其微观能带结构决定，而不同材料的能带特征可通过实验手段进行探测。回旋共振是一种关键实验方法，通过在低温、高纯样品中施加恒定磁场与交变电磁场，观测载流子的共振吸收现象，从而测定有效质量并反推能带极值附近的等能面形状与各向异性特征。硅（Si）的能带结构硅为典型的间接带隙半导体，其导带底并不位于布里渊区中心（k=0），而是分布在方向上，距中心约0.85倍的边界距离。导带极小值附近的等能面为旋转椭球面，长轴沿方向。由于立方对称性，共有六个等效的极值点，形成六重简并的导带谷。实验表明，当外加磁场沿不同晶轴方向时，可观察到不同数量的吸收峰：沿[111]方向：1个吸收峰沿[110]或[100]方向：2个吸收峰沿任意方向：最多3个吸收峰 这一现象源于电子有效质量的各向异性，其纵向有效质量 $m_l^*$ 与横向有效质量 $m_t^*$ 不同，导致回旋频率 $\omega_c = qB/m_n^*$ 随磁场取向变化。锗（Ge）的能带结构锗同样属于间接带隙半导体，其导带极小值位于方向的简约布里渊区边界上。等能面也为旋转椭球面，但由于部分椭球体跨越布里渊区边界，实际表现为八个极值点（四对椭球）。锗的价带结构较为复杂，包含重空穴带、轻空穴带及自旋-轨道耦合分裂出的第三能带。实验测得其有效质量参数为：纵向有效质量 $m_l = (1.64 \pm 0.03)m_0$，横向有效质量 $m_t = (0.0819 \pm 0.0003)m_0$。砷化镓（GaAs）的能带结构砷化镓是典型的直接带隙半导体，其导带最小值与价带最大值均位于布里渊区中心（k=0），这使得电子跃迁无需动量改变，辐射复合效率高，非常适合用于发光器件。导带底附近的等能面近似为球面，电子有效质量较小，约为 $0.067m_0$。此外，在[111]和[100]方向的布里渊区边界处还存在能量较高的次级极小值，分别对应 $0.55m_0$ 和 $0.85m_0$ 的有效质量。价带顶分裂为重空穴带（有效质量 $0.45m_0$）、轻空穴带（$0.082m_0$）和分裂带（裂距 $0.34\,\text{eV}$）。下表系统总结了三种典型半导体的关键能带参数：半导体导带极值位置等能面形状与个数电子有效质量价带特征带隙类型硅（Si）方向，距Γ点0.85倍边界6个旋转椭球面$m_l^* > m_t^*$，各向异性重/轻空穴带间接带隙（$E_g=1.1\,\text{eV}$）锗（Ge）方向，布里渊区边界8个极值（4个椭球）$m_l = 1.64m_0$, $m_t = 0.0819m_0$重/轻/分裂空穴带间接带隙砷化镓（GaAs）Γ点（k=0）近似球面（1个）$m_n^* = 0.067m_0$重/轻/分裂空穴带（$\Delta=0.34\,\text{eV}$）直接带隙（$E_g=1.424\,\text{eV}$）直接与间接带隙。硅和锗因其间接带隙特性，电子跃迁需声子参与，非辐射复合占优，适用于逻辑器件；而砷化镓的直接带隙使其在光电子领域具有显著优势。这些差异源于晶体结构与原子间相互作用的不同。