无聊の日记 - 2026年6月
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description: ダイ け ジョーァの猫がインターネットに書いたつまらない日記
items: 半导体器件物理习题增补分析详解
items: 半导体器件物理常考题型例题详解
items: 半导体器件物理核心知识复习指南

半导体器件物理习题增补分析详解
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date: 2026-06-15T12:10:00+08:00
description: 补漏一：第一章 / 能带与有效质量【题型18】回旋共振与有效质量计算题目：在进行硅的微波回旋共振实验时，加在某个特定方向上的恒定磁场 $B = 0.1\text{ T}$。已知此时测得的电子有效质量 $m_c^* = 0.26 m_0$（$m_0 = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}$）。① 求此方向上发生回旋共振时的微波频率 $f_c$；② 若要探测到该共振，对半导体样品的平均自由时间 $\tau$ 有什么要求？解题过程：① 求回旋共振频率：回旋共振角频率 $\omega_c = \frac{qB}{m_c^*}$，且 $\omega_c = 2\pi f_c$。代入国际单位制（SI）：$$f_c = \frac{qB}{2\pi m_c^*} = \frac{1.602\times 10^{-19} \times 0.1}{2\times 3.1416 \times 0.26 \times 9.1 \times 10^{-31}}$$$$f_c = \frac{1.602 \times 10^{-20}}{1.486 \times 10^{-30}} \approx 1.078 \times 10^{10}\text{ Hz} = 10.78\text{ GHz}$$（此频率位于微波波段）② 观测条件：为了能观测到明显的共振吸收峰，电子在发生碰撞散射前，至少必须能完成几次完整的回旋运动。数学条件为：$\omega_c \tau \ge 1$ 或至少 $\omega_c \tau > 1$。因此要求：$\tau \ge \frac{1}{\omega_c} = \frac{1}{2\pi f_c} = \frac{1}{6.77 \times 10^{10}} \approx 1.48 \times 10^{-11}\text{ s}$。（这就要求实验必须在极低温下进行，以减弱声子散射，增大 $\tau$）。✎ 批注：这是第一章唯一能出计算大题的地方。注意全部换算为国际单位（SI）（磁场用 T，质量用 kg，电荷量用 C），算出来的频率 $f$ 单位是 Hz。常见错误是把角频率 $\omega_c$ 当成了频率 $f_c$，漏除了 $2\pi$。补漏二：第二章 / 杂质能级【题型19】类氢模型：杂质电离能与轨道半径估算题目：利用类氢原子模型，估算室温下 Si 中浅能级施主杂质（如磷 P）的电离能 $\Delta E_D$ 和基态电子的玻尔半径 $r$。已知 Si 的相对介电常数 $\varepsilon_r = 11.9$，电导有效质量 $m_n^* \approx 0.26 m_0$。与本征带隙 $E_g = 1.12\text{ eV}$ 比较，说明为何室温下杂质极易电离。解题过程：① 估算电离能：类氢模型中，杂质电离能相对于氢原子基态能量（13.6 eV）的修正公式为：$$\Delta E_D = 13.6 \times \frac{m_n^*/m_0}{\varepsilon_r^2}\text{ (eV)}$$$$\Delta E_D = 13.6 \times \frac{0.26}{(11.9)^2} = 13.6 \times \frac{0.26}{141.61} = 0.0249\text{ eV} \approx 25\text{ meV}$$② 估算玻尔半径：氢原子的基态半径为 $a_0 = 0.53$ Å。修正公式为：$$r = a_0 \times \frac{\varepsilon_r}{m_n^*/m_0} = 0.53 \times \frac{11.9}{0.26} \approx 24.2 \text{ Å} = 2.42\text{ nm}$$③ 比较与说明：室温热激发能 $k_0T \approx 0.026\text{ eV}$。算出的 $\Delta E_D \approx 0.025\text{ eV}$。因为 $\Delta E_D \le k_0T$，且远小于本征禁带宽度（$1.12\text{ eV}$），所以在室温下热涨落提供的能量已足以使绝大部分施主电子激发到导带，即发生充分电离。✎ 批注：这个公式不需要死记硬背复杂的 $\hbar, \varepsilon_0$ 的原版表达式，只要记住相对于氢原子的两个比例因子：能量正比于质量、反比于介电常数平方；半径反比于质量、正比于介电常数。补漏三：第三章 / 载流子分布【题型20】本征费米能级 $E_i$ 对禁带中线的偏移量题目：证明半导体的本征费米能级 $E_i$ 并不精确位于禁带中线。求 300K 时硅的 $E_i$ 偏离禁带中线多少电子伏特？已知 Si 的状态密度有效质量 $m_{dn} = 1…

半导体器件物理常考题型例题详解
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date: 2026-06-13T17:33:00+08:00
description: 第一部分：能带与有效质量【题型1】由电阻率/迁移率求本征载流子浓度题目：室温下本征Ge的电阻率为47 Ω·cm，已知$\mu_n = 3900$ cm²/V·s，$\mu_p = 1900$ cm²/V·s，求本征载流子浓度 $n_i$。解题过程：本征半导体中 $n_0 = p_0 = n_i$，电导率为：$$\sigma_i = q n_i (\mu_n + \mu_p)$$由题意：$\rho_i = 47$ Ω·cm，$\sigma_i = 1/\rho_i$，故：$$n_i = \frac{1}{q \rho_i (\mu_n + \mu_p)} = \frac{1}{1.602\times10^{-19} \times 47 \times (3900+1900)}$$$$n_i = \frac{1}{1.602\times10^{-19} \times 47 \times 5800} = \frac{1}{4.368\times10^{-14}} \approx 2.29\times10^{13} \text{ cm}^{-3}$$✎ 批注：这是最基础的反推题，核心就是 $\sigma = qn_i(\mu_n+\mu_p)$，本征时 $n=p=n_i$。注意单位：迁移率用 cm²/V·s，$q$ 用 C，$\rho$ 用 Ω·cm，结果自动是 cm⁻³。常见错误：忘了 $\mu_n + \mu_p$ 是两者之和，误用单个迁移率。【题型2】由迁移率求杂质掺入后的电导率和对比倍数题目：试计算本征Si室温时的电导率。当掺入百万分之一的As后（设杂质全部电离），试计算其电导率。比本征Si的电导率增大了多少倍？已知：$n_i = 1.5\times10^{10}$ cm⁻³，$\mu_n = 1450$ cm²/V·s，$\mu_p = 500$ cm²/V·s；Si原子浓度 $5.0\times10^{22}$ cm⁻³；掺杂后电子迁移率降为 $\mu_n' = 900$ cm²/V·s。解题过程：① 本征电导率：$$\sigma_i = qn_i(\mu_n+\mu_p) = 1.602\times10^{-19}\times1.5\times10^{10}\times(1450+500)$$$$= 1.602\times10^{-19} \times 1.5\times10^{10} \times 1950 = 4.68\times10^{-6} \text{ S/cm}$$② 掺As浓度：$$N_D = \frac{5.0\times10^{22}}{10^6} = 5.0\times10^{16} \text{ cm}^{-3}$$③ 掺杂后判断：$N_D \gg n_i$，室温强电离，则：$$n_0 = N_D = 5.0\times10^{16} \text{ cm}^{-3}$$$$p_0 = \frac{n_i^2}{N_D} = \frac{(1.5\times10^{10})^2}{5.0\times10^{16}} = 4.5\times10^3 \text{ cm}^{-3} \ll n_0$$空穴贡献完全可忽略，用新迁移率：$$\sigma = qn_0\mu_n' = 1.602\times10^{-19} \times 5.0\times10^{16} \times 900 = 7.2 \text{ S/cm}$$④ 增大倍数：$$\frac{\sigma}{\sigma_i} = \frac{7.2}{4.68\times10^{-6}} = 1.54\times10^6$$✎ 批注：这道题三个步骤全是高频考点。①本征电导率用 $n_i(\mu_n+\mu_p)$；②掺杂后先判断是否强电离（$N_D \gg n_i$），若是直接 $n_0 = N_D$，少子用 $n_i^2/N_D$；③注意掺杂会降低迁移率，题目给出了新值要用新值。倍数悬殊（$10^6$量级）说明掺杂对导电性的巨大影响，这正是半导体器件的物理基础。第二部分：载流子统计分布【题型3】费米函数概率计算题目（a）：令 $T = 300$ K，计算比费米能级高 $3k_0T$ 的能级被电子占据的概率。解题过程：$$f(E) = \frac{1}{1+\exp\!\left(\dfrac{E-E_F}{k_0T}\right)} = \frac{1}{1+\exp(3)} = \frac{1}{1+20.09} = \frac{1}{21.09} \approx 4.74\%$$题目（b）：某材料费米能级为6.25 eV，求在低于费米能级0.30 eV处，能态为空的概率为1%时的温度。解题过程：能态为空的概率 = $1 - f(E)$，…

半导体器件物理核心知识复习指南
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date: 2026-06-13T17:20:00+08:00
description: 一、核心常数与材料参数速查表1.1 基本物理常数常数符号数值基本电荷$q$$1.602 \times 10^{-19}$ C玻耳兹曼常数$k_0$$1.380 \times 10^{-23}$ J/K = $8.617 \times 10^{-5}$ eV/K室温热电压 (300K)$k_0T/q$$0.026$ eV（常取 $0.025$ eV）普朗克常数$h$$6.626 \times 10^{-34}$ J·s约化普朗克常数$\hbar = h/2\pi$$1.055 \times 10^{-34}$ J·s自由电子质量$m_0$$9.109 \times 10^{-31}$ kg真空介电常数$\varepsilon_0$$8.854 \times 10^{-14}$ F/cm1.2 Si、Ge、GaAs 材料常数（300K）参数SiGeGaAs禁带宽度 $E_g$ (eV)1.120.671.42（课件中取 1.428）本征载流子浓度 $n_i$ (cm⁻³)$1.5 \times 10^{10}$$2.4 \times 10^{13}$$1.1 \times 10^7$电子有效质量 $m_n^*$$0.26 m_0$$0.12 m_0$—空穴有效质量 $m_p^*$———导带态密度有效质量 $m_{dn}$$1.08 m_0$$0.56 m_0$—价带态密度有效质量 $m_{dp}$$0.50 m_0$$0.37 m_0$—导带有效状态密度 $N_c$ (cm⁻³)$2.8 \times 10^{19}$$1.05 \times 10^{19}$—价带有效状态密度 $N_v$ (cm⁻³)$1.1 \times 10^{19}$$5.7 \times 10^{18}$—电子迁移率 $\mu_n$ (cm²/V·s)$1350 \sim 1450$$3600 \sim 3900$—空穴迁移率 $\mu_p$ (cm²/V·s)$480 \sim 500$$1700 \sim 1900$—相对介电常数 $\varepsilon_r$11.91613.1原子密度 (cm⁻³)$5.0 \times 10^{22}$$4.4 \times 10^{22}$—高频考点：$k_0T = 0.026$ eV，$N_c \propto T^{3/2}$，$n_i^2 = n_0 p_0$二、能带与有效质量（回旋共振）2.1 等能面方程导带底附近（以 $k_0$ 为极值点）三维泰勒展开：$$E(\vec{k}) = E(k_0) + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{(k_x - k_{0x})^2}{m_x^*} + \frac{(k_y - k_{0y})^2}{m_y^*} + \frac{(k_z - k_{0z})^2}{m_z^*}\right]$$旋转椭球面（纵向 $m_l$，横向 $m_t$）：$$E(k) = E_c + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{k_1^2 + k_2^2}{m_t} + \frac{k_3^2}{m_l}\right]$$2.2 回旋共振频率球形等能面：$$\omega_c = \frac{qB}{m_n^*} \quad \Rightarrow \quad m_n^* = \frac{qB}{\omega_c}$$椭球形等能面（B方向余弦为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$）：$$\omega_c = \frac{qB}{m_c^*}, \quad \frac{1}{(m_c^*)^2} = \frac{\alpha_1^2\alpha_2^2}{m_t^2 m_l} + \frac{\alpha_2^2\alpha_3^2}{m_t^2 m_l} + \frac{\alpha_1^2\alpha_3^2}{m_t^2 m_l} + \frac{1}{m_t m_l}(\text{组合项})$$计算流程：给定 B 方向 → 代入椭球有效质量公式 → 求解 $\omega_c$ → 换算有效质量2.3 硅锗材料的有效质量材料$m_l^*$$m_t^*$对称数 $s$$m_{dn} = s^{2/3}(m_l m_t^2)^{1/3}$Si (6个[100]椭球)$0.98 m_0$$0.19 m_0$6$1.08 m_0$Ge (4个[111]椭球)$1.64 m_0$$0.0819 m_0$4$0.56 m_0$三、杂质能级3.1 类氢模型估算电离能施主杂质电离能：$$\Delta E_D = \frac{m_n^*}{m_0} \cdot \frac{1}{\varepsilon_r^2} \cdot E_0 …